ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д16 C5 № 527850 Добавить в вариант

Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 рублей 1 июля 2019 года сроком на 5 лет. Начиная с 1 августа 2019 года, он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля каждого года величина долга увеличивается на 10%. Найдите сумму ежемесячной выплаты в рублях. Ответ округлите до 1 рубля в большую сторону.

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма кредита равна $A=1000000$ руб., повышающий коэффициент равен $k=1 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: 100 конец дроби ,$ а ежемесячный платёж равняется $дробь: числитель: S, знаменатель: 12 конец дроби$ руб. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

Год	Долг на 1 июля, тыс. руб.	Долг на 15 июля, тыс. руб.	Сумма выплат за 12 месяцев, тыс. руб.
2019	A	kA	S
2020	kA − S	k²A − kS	S
2021	k²A − (k + 1)S	k³A − (k² + k)S	S
2022	k³A − (k² + k + 1)S	k⁴A − (k³ + k² + k)S	S
2023	k⁴A − (k³ + k² + k + 1)S	k⁵A − (k⁴ + k³ + k² + k)S	S
2024	k⁵A − (k⁴ + k³ + k² + k + 1)S = 0

Получим и решим уравнение:

$k в степени 5 A минус левая круглая скобка k в степени 4 плюс k в кубе плюс k в квадрате плюс k плюс 1 правая круглая скобка S=0 равносильно k в степени 5 A= дробь: числитель: левая круглая скобка k в степени 5 минус 1 правая круглая скобка S, знаменатель: k минус 1 конец дроби равносильно S= дробь: числитель: k в степени 5 A левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка k в степени 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби ,$ $k в степени 5 A минус левая круглая скобка k в степени 4 плюс k в кубе плюс k в квадрате плюс k плюс 1 правая круглая скобка S=0 равносильно$
$равносильно k в степени 5 A= дробь: числитель: левая круглая скобка k в степени 5 минус 1 правая круглая скобка S, знаменатель: k минус 1 конец дроби равносильно S= дробь: числитель: k в степени 5 A левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка k в степени 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби ,$

откуда

$S= дробь: числитель: 1,1 в степени 5 умножить на 1000000 умножить на 0,1, знаменатель: левая круглая скобка 1,1 в степени 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 161051, знаменатель: 0,61051 конец дроби .$

Тогда

$дробь: числитель: S, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 161051, знаменатель: 0,61051 умножить на 12 конец дроби = дробь: числитель: 161051, знаменатель: 7,32612 конец дроби =21983,1...$ (руб).

Ответ необходимо дать с точностью до 1 руб, округлив в большую сторону. Получаем, что $дробь: числитель: S, знаменатель: 12 конец дроби =21984$ руб.

Ответ: 21 984 руб.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 282

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь