PDF-версии: 1. Тип 13 № 527707 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. a) Преобразуем уравнение:
Сделаем замену переменной 
тогда уравнение примет вид:
Второй корень является посторонним. Таким образом,
б) При помощи единичной окружности отберем корни удовлетворяющие промежутку В него попадают 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527707
а) б)
б) Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
при этом М — середина 
значит, MN — средняя линия треугольника 
следовательно, N — середина 
и 
соответственно. Тогда они лежат на прямой MN. Пусть теперь L и P — точки пересечения прямых AQ и CR (то есть сечения) с ребрами 
и 
соответственно. Таким образом, сечение — шестиугольник ALMNPC получаемый из прямоугольника AQRC отрезанием от него двух равных прямоугольных треугольников LMQ и NPR.
то 
а 
Таким образом, 
Тогда, 
и что 
получаем, что 
Проведём прямую MN параллельно AD. Пусть h1 — высота треугольника CMN, проведённая к MN, h2 — высота треугольника DMN, проведённая к MN, h — высота ABCD. Следовательно, 
Следовательно, 
тыс. руб. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:
(тыс. руб).
руб.
тогда уравнение принимает вид
— квадратное, значит, не может иметь более двух корней.
то уравнение 
— линейное и имеет один корень 
то уравнение 
он положителен при 
или 
равен нулю при 
отрицателен при 
или 
Введём функцию 
Чтобы уравнение 
достаточно, чтобы выполнялась система 
— три различных целых корня уравнения 
Тогда 
а 
Получаем, 
(произведение целых чисел равно нецелому), что невозможно. Значит, предположение неверно.
а их сумма 
Произведение чисел отрицательно, если среди множителей нет нулей, и при этом имеется нечётное число отрицательных множителей. Значит, или все три корня уравнения отрицательны, или один корень отрицательный, а два — положительных. Сумма трёх отрицательных чисел не может равняться 3. Значит, у данного уравнения ровно один отрицательный корень.
Добавив к простым сомножителям 1, получаем 
Рассмотрим все возможные значения корней и их суммы, учтя результаты полученные в пункте б).
— корни уравнения 
то 
