PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Запишем уравнение в виде
Очевидно второй множитель по модулю не превосходит единицы, а первый — 
Поэтому единственная возможность (первый множитель точно положителен) — если 
и 
Первое возможно лишь при 
и при таких x второе тоже выполняется.
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат: 
Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше 
и занимает поэтому больше целого оборота на круге.
Ответ: а) 
б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
откуда прямая KM параллельна прямой BC.
тогда 
(высота правильного треугольника). Тогда в равнобедренном треугольнике BTC имеем 
тогда 
Неравенство примет вид 
откуда 
а радиус окружности равен 13.
(первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол) и 
(вписанные, опирающиеся на одну дугу). Значит,
поэтому треугольники подобны по двум углам.
Кроме того, 
из параллельности. Значит, 
поэтому BC — касательная к окружности. Тогда высота CH трапеции является частью диаметра окружности и, следовательно, проходит через середину хорды ND, откуда 
Из теоремы синусов для треугольника CDN имеем 
откуда 
то есть 
В январе 2005 года вкладчик открыл депозитный счёт в банке «Фантазия», положив на него некоторую сумму. В январе 2006 года, по прошествии года со дня открытия счёта, вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение x, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2007 года станет максимально возможной.
а за второй год — на 
то есть при 
Нас будут интересовать решения уравнения 
на промежутке 
Причем если 
то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения — один на 
а второй на 
Если же 
или 
то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня. Поэтому нам нужно, чтобы наше уравнение не имело корней на 
и имело ровно один корень на 
Уравнение можно переписать в виде 
и 
Подставляя, получим либо 
и второй корень 
либо 
что невозможно. Первый случай нам подходит. Далее выясним, когда корни совпадают. Тогда 
Очевидно, 
то 
и 
поэтому 
Значит, все такие a нам подходят.
по формуле для суммы арифметической прогрессии находим сумму всех чисел:
что невозможно.
то последнее равно 
и сумма всех чисел равна 
это выражение не меньше 
то сумма равна 
Значит, 
что невозможно — в этом промежутке нет чисел, кратных 21.
то сумма равна 
Значит, 
что невозможно — в этом промежутке нет чисел, кратных 20.
то сумма равна 
Значит, 
что невозможно — в этом промежутке нет чисел, кратных 19.
и 
то получим 