PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527589 
Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Преобразуем уравнение:
Обозначив 
получим:
Перейдём к основной переменной:
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527589
а) б)
б) Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Проведем через T прямую, перпендикулярную CN. Обозначим ее пересечение с AB и AD за Q и P соответственно. Тогда MQP — искомое сечение.
и 
В самом деле, выберем точки P и Q по этим правилам и убедимся, что прямая PQ перпендикулярна прямой CN и 
Имеем:
б) 
причем 
только при 
Произведение остальных скобок должно быть неположительно, поэтому 
Все выписанные значения положительны, в них исходное неравенство определено.
сторона 
Продолжения боковых сторон пересекаются в точке K, образуя прямой угол AKD. Окружность ω проходит через точки А и В и касается стороны CD в точке P.
поэтому 
Значит, 
откуда 
и 
По теореме Пифагора для треугольника BKC находим 
и T — середина AB, то прямая OT перпендикулярна прямой AK. Значит, TKPO — прямоугольник (его углы T, K и P — прямые). Значит, 
б) 10.
Значит, 
(так как второй вклад открыли на 6 лет позже, 
). Значит, это случится в 
году.
второе уравнение примет вид 
Но они не подходят в первое уравнение. Значит, 
Тогда второе уравнение принимает вид 
то после раскрытия модулей имеем 
Первое уравнение примет вид 
и будет иметь конечное число решений. Поэтому их все можно не учитывать. Аналогично если 
мы получим 
и снова 
тогда получаем 
Если 
то 
не подходят в неравенство 
Если же 
то можно взять любое 
и подобрать к нему y. Нужно чтобы 
и 
Это верно, например, при 
поскольку тогда 
Значит, и в самом деле есть бесконечно много решений.
состоит из различных натуральных чисел. Пусть 
при всех натуральных 
тогда 
и положительна при 
Значит, функция убывает на 
и возрастает на 
поэтому наименьшее значение будет при 
и оно равно 
Его можно получить, например, при 
и 
