Ученики писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из‐за того, что задания оказались трудными, всем участникам теста добавили по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Мог ли средний балл участников, не сдавших тест, понизиться?
б) Мог ли средний балл участников, сдавших тест, понизиться и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизиться?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест — 79. При каком минимальном числе участников теста возможна такая ситуация?
а, б) Если было по одному участнику с 2, 80, 1000 баллов, то средний балл сдавших составлял 1000, а несдавших — 41. После добавки их результаты стали 7, 85, 1005. Теперь средний балл несдавших 7, а сдавших 545.
в) Пусть было x школьников с результатом не менее 83 (они сдали сразу), y школьников с результатами от 78 до 82 (они сдали после добавления баллов) и z школьников с результатами, меньшими 78 баллов (они не сдали несмотря на добавку). Поскольку среднее равно сумме баллов, деленной на число сдающих, получаем:
− сумма всех баллов участников 
− сумма баллов сдавших изначально 
− сумма баллов изначально несдавших 
− сумма баллов у сдавших после добавки 
− сумма баллов у несдавших даже после добавки 
Если сложить баллы сдавших и баллы несдавших, получатся баллы всех (после добавки надо не забыть добавить всем по 5 баллов). Получаем два уравнения
После упрощения получим 
и 
То есть 
и 
Значит, 
Итак, учеников было не менее 15. Приведем пример для 15 учеников. Было 9 учеников с результатом 100, 5 учеников с результатом 74 и один ученик с результатом 80. Нетрудно проверить, что все условия выполнены.
Ответ: а) да; б) да; в) 15.