Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 527393

а) Решите уравнение 4 синус в степени 2 (2x плюс Пи ) минус 2( корень из { 5} минус корень из { 3}) косинус (2x минус Пи ) плюс корень из { 15} минус 4=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

Обозначим t= косинус 2x, тогда  минус t= косинус (2x минус Пи ), t в степени 2 = синус в степени 2 (2x плюс Пи ). Уравнение примет вид:

4(1 минус t в степени 2 ) плюс 2( корень из { 5} минус корень из { 3})t плюс корень из { 15} минус 4=0 равносильно минус 4t в степени 2 плюс 2( корень из { 5} минус корень из { 3})t плюс корень из { 15}=0 равносильно

 равносильно 4t в степени 2 минус 2( корень из { 5} минус корень из { 3})t минус корень из { 15}=0 равносильно (2t минус корень из { 5})(2t плюс корень из { 3})=0 равносильно

 

 равносильно совокупность выражений t= дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 2 больше 1(невозможно),t= минус дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 , конец совокупности .

откуда

 косинус 2x= минус дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 равносильно 2x=\pm дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 плюс Пи k.

б) Поскольку

 минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 = минус дробь, числитель — 18 Пи , знаменатель — 12 меньше минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 12 меньше минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 12 меньше минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 меньше дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ,

подходят:  минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 12 ,  минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 12 , \pm дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 .

 

Ответ: а) \left\{\pm дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 плюс Пи k:k принадлежит Z \}; б)  минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 12 ,  минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 12 , \pm дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 12 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 256.
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.1.4 Тригонометрические уравнения