ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 527204 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: 4, знаменатель: левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 9 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 1 конец дроби минус 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 0.$

Спрятать решение

Решение.

Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на $3 в степени x$ и сделаем замену $t=3 в степени x .$ Имеем:

$дробь: числитель: 4 умножить на 3 в степени x , знаменатель: 3 минус 9 умножить на 3 в степени x конец дроби минус дробь: числитель: 3 в степени x , знаменатель: 1 минус 3 в степени x конец дроби минус дробь: числитель: 3 в степени x , знаменатель: 3 конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 4t, знаменатель: 3 минус 9t конец дроби минус дробь: числитель: t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: t, знаменатель: 3 конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 4t левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка минус 3t левая круглая скобка 1 минус 3t правая круглая скобка минус t левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3t правая круглая скобка , знаменатель: 3 левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 4t минус 4t в квадрате минус 3t плюс 9t в квадрате минус t плюс t в квадрате плюс 3t в квадрате минус 3t в кубе , знаменатель: 3 левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 9t в квадрате минус 3t в кубе , знаменатель: 3 левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка , знаменатель: 3 левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3t правая круглая скобка конец дроби больше 0.$

Применяя метод интервалов, находим $t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка .$ Далее:

$3 в степени x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 243

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь