PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Перепишем уравнение в виде
Будем помнить, что 
то есть 
Имеем:
Либо 
такие числа подходят. Либо поделим на 
Значит, 
поэтому 
Все они при приведении к общему знаменателю будут иметь знаменатель кратный 
поэтому не совпадут с запрещенными значениями.
Из самой первой серии подходит 
Для удобства отбора из остальных домножим все на 4. Тогда нужно обирать так, чтобы 
лежали на 
Очевидно можно взять 
или 
для обеих серий, а другие нельзя.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
на ребре 
отмечена точка K так, что 
Через точку K параллельно 
проведена плоскость β. 
параллельно прямым 
и 
Это будет ребро сечения, причем 
из параллельности. Проведем LM в грани ABCD параллельно 
Это будет ребро сечения, причем 
на ребрах соответственно 
причем: 
Тогда прямая MN параллельна прямым BD и LM, PO, поэтому треугольники KNT и PTO подобны с коэффициентом 
и треугольники KNS и LMS тоже подобны, с коэффициентом 
и площадь сечения равна 
поэтому 
или 
поэтому 
Это уравнение мы уже решали, но теперь у него как раз 
корень, а 
посторонний корень.
неверно.
верно.
неверно, левая часть отрицательна.
верно, знаменатель левой части явно положителен.
верно.
откуда 
Поскольку 
и 
(последнее равенство верно, поскольку 
), треугольники BCL, PCL, ACK подобны (первые два даже равны, потому что у них общая сторона CL). Тогда:
В конце любого года фонд может продать ценные бумаги и положить деньги в банк «Пятёрочка» под 20% годовых. В конце какого года фонд должен продать ценные бумаги, чтобы через 15 лет сумма на его счету была наибольшей? Сколько рублей составит эта сумма?
лет на счету будет 
миллионов рублей. Выясним, когда 
Это происходит при 
При натуральных t это верно при 
поскольку 
сумма двух отрицательных чисел, а при 
неверно, поскольку 
рублей.
лет, 
рублей.
Разделим уравнение на 
и обозначим 
Имеем:
равносильно уравнению 
и потому имеет один корень при 
два корня при 
(то есть при 
один корень при 
и не имеет корней при прочих 
Кроме того, корни таких уравнений при разных t совпадать не могут. Поэтому 
корня у изначального уравнения могут быть в следующих ситуациях.
и два из них совпадают. Первые совпадают при 
(тогда третий равен нулю), последние при 
(и все в порядке), первый с последним при 
(и все в порядке). Начиная с этого момента совпадение корней невозможно, эти случаи разобраны.
ровно одно дает 
корней, а остальные по 
Первое точно дает 
при 
и не дает корней при 
Третье дает 
и 
Значит, нам подходит промежуток 
Это получается при 
и 
Значит, представить его в виде суммы нечетных можно, а в виде суммы четных нельзя.
и 
имеют разную четность (их сумма 
), второе число меньше (Значит, оно меньше 
поскольку 
) и нам надо максимизировать как раз второе число. Имеем: 
Если 
Если же оно четно, оно максимум 
(в него должны войти все множители 
чтобы второй множитель вышел нечетным, а 
). Решая систему 
находим 
Итак, можно взять 
числа: 
