Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 526941

а)  Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных нечётных натуральных чисел?

б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных чётных натуральных чисел?

в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.

Спрятать решение

Решение.

а,б) Последовательные числа одной четности отличаются друг от друга на 2. Допустим:

2016=n плюс n плюс 2 плюс n плюс 4 плюс n плюс 6 плюс n плюс 8 плюс n плюс 10=6n плюс 30.

Тогда 6n=1986, n=331. Значит, представить его в виде суммы нечетных можно, а в виде суммы четных нельзя.

в) Допустим:

2016=2n плюс левая круглая скобка 2n плюс 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 2m,

тогда:

2016= дробь: числитель: 2m плюс 2n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка m минус n плюс 1 правая круглая скобка

по формуле для суммы арифметической прогрессии. Итак,

2016= левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка левая круглая скобка m минус n плюс 1 правая круглая скобка .

Заметим, что числа m плюс n и m минус n плюс 1 имеют разную четность (их сумма 2m плюс 1), второе число меньше (Значит, оно меньше 45, поскольку 45 в квадрате больше 2016) и нам надо максимизировать как раз второе число. Имеем: 2016=2 в степени 5 умножить на 63. Если m минус n плюс 1 нечетно, то оно максимум 21. Если же оно четно, оно максимум 2 в степени 5 (в него должны войти все множители 2, чтобы второй множитель вышел нечетным, а 2 в степени 5 умножить на 3 больше 45). Решая систему m минус n плюс 1=32, m плюс n=63 находим m=47, n=16. Итак, можно взять 32 числа:

32 плюс 34 плюс \ldots плюс 94=2016.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 32 плюс 34 плюс \ldots плюс 94.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства