Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 526940

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

 левая круглая скобка 16x в квадрате минус 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в кубе плюс x правая круглая скобка плюс a левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс a минус 1 правая круглая скобка =0

имеет ровно четыре корня.

Спрятать решение

Решение.

Сразу заметим, что x в квадрате плюс 1 не равно 0. Разделим уравнение на  левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка и обозначим t= дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 1 конец дроби . Имеем:

 левая круглая скобка 16t в квадрате минус 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка t плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 плюс 2t правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,t= дробь: числитель: a, знаменатель: 4 конец дроби ,t= дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Заметим, что уравнение  дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 1 конец дроби =t равносильно уравнению tx в квадрате минус x плюс t=0 и потому имеет один корень при t=0, два корня при D=1 минус 4t в квадрате больше 0 (то есть при t принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , один корень при t=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и не имеет корней при прочих t. Кроме того, корни таких уравнений при разных t совпадать не могут. Поэтому 4 корня у изначального уравнения могут быть в следующих ситуациях.

1.  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: a, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 2 конец дроби принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка и два из них совпадают. Первые совпадают при a=1 (тогда третий равен нулю), последние при a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (и все в порядке), первый с последним при a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (и все в порядке). Начиная с этого момента совпадение корней невозможно, эти случаи разобраны.

2. Из чисел  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: a, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 2 конец дроби ровно одно дает 0 корней, а остальные по 2. Первое точно дает 2. Второе дает 2 при a принадлежит левая круглая скобка минус 2;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка и не дает корней при a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка . Третье дает 2 при a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка и 0 при a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка . Значит, нам подходит промежуток  левая круглая скобка минус 2;0 правая круглая скобка .

3. Из чисел  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: a, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 2 конец дроби одно дает два корня (это первое, разумеется), а остальные по одному. Для этого они должны быть в множестве  левая фигурная скобка 0\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка . Это получается при a=0 и a=2.

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус 2;0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром