1. Тип Д8 C1 № 526928 
Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Перепишем уравнение в виде
Обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат. Имеем:
Второй множитель не может быть равен нулю. Тогда:
б) C помощью тригонометрического круга отберем корни. Подходят 
Ответ а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
526928
а) б)
б) Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, причем 
Через точку 
перпендикулярно 
проведена плоскость α. 
Пусть 
Тогда нетрудно найти координаты точек 
Значит, вектор нормали к плоскости сечения имеет координаты 
и уравнение плоскости имеет вид 
Подберем D так, чтобы плоскость проходила через 
получим 
Найдем теперь ее точки пересечения с ребрами призмы.
Пусть это точка 
Тогда: 
Пусть это точка 
Тогда 
и это просто точка 
Эти точки можно соединить, поэтому других ребер плоскость не пересекает. Тогда: 
перпендикулярна грани 
поэтому прямая 
перпендикуляр к 
в точке T (она будет именно на ребре, поскольку 
Тогда 
— искомое сечение и 
поскольку 
Координатное приведено здесь для того, чтобы показать силу метода координат в задачах на доказательство для человека, почти не имеющего геометрических знаний. Кстати, в нем сразу понятно, что точка лежит на ребре, ведь 
то 
поэтому 
и объем равен 
Ясно, что это меньшая часть, поэтому ответ 
Получим:
Тогда треугольники BCA и DCB подобны по углу C и отношению сторон. Значит, 
находим 
По теореме Менелая для треугольника ACL и прямой DOB имеем 
Каждый месяц выплачиваются набежавшие за месяц проценты и еще 
больше, чем за декабрь. В марте они начисляются на остаток долга 
а в декабре на остаток долга 
Значит:
Отметим сразу, что при 
это уравнение имеет один корень, при 
два корня, при 
не имеет корней. Значит, уравнение 
Далее:
Далее:
?
?
если известно, что 
то у одной из них знаменатель кратен 
Тогда она не больше 
а остальные вместе не больше 
поэтому общая сумма не больше 
то наибольшая сумма будет: 
Значит, 
в сумме есть.
то наибольшая сумма будет: 
Значит, 
в сумме есть.
то наибольшая сумма будет: 
Значит, 
в сумме есть.
и мы получаем неравенство: 
и 