Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 526933

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

4 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка плюс a умножить на 2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка |x| плюс 2 правая круглая скобка =6a в квадрате минус 13a плюс 5

имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Заменим t=2 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка . Отметим сразу, что при t=1 это уравнение имеет один корень, при t больше 1 два корня, при t меньше 1 не имеет корней. Значит, уравнение

t в квадрате плюс at минус 4t=6a в квадрате минус 13a плюс 5

должно иметь один корень больший 1 и один корень меньший 1, либо иметь всего один корень больший 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы значение выражения

t в квадрате плюс at минус 4t минус 6a в квадрате плюс 13a минус 5

при t=1 было отрицательно, либо чтобы квадратное уравнение имело всего один корень и он был больше единицы.

Случай 1. Имеем: f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше 0. Далее:

1 плюс a минус 4 минус 6a в квадрате плюс 13a минус 5 меньше 0 равносильно 6a в квадрате минус 14a плюс 8 больше 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6a минус 8 правая круглая скобка больше 0 равносильно a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .

Случай 2. Имеем: D=0. Далее:

 левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 24a в квадрате минус 52a плюс 20=0 равносильно 25a в квадрате минус 60a плюс 36=0 равносильно левая круглая скобка 5a минус 6 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби .

При этом a единственный корень равен  дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби больше 1.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром