Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 526934

Известно, что a, b, c, d — попарно различные натуральные числа, большие 1.

а)  Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби ?

б) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби =1,26 ?

в) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы S= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби , если известно, что 1,2 меньше S меньше 1,3.

Спрятать решение

Решение.

а) Да,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби .

б) Если сумма дробей равна  дробь: числитель: 63, знаменатель: 50 конец дроби , то у одной из них знаменатель кратен 25. Тогда она не больше  дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби , а остальные вместе не больше  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби , поэтому общая сумма не больше  дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби меньше 1,13.

в) Самые большие дроби дадут:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 77, знаменатель: 60 конец дроби \approx 1,28 принадлежит левая круглая скобка 1,2;1,3 правая круглая скобка .

Значит, это и есть самое большое значение.

Если не взять  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то наибольшая сумма будет:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 57, знаменатель: 60 конец дроби меньше 1. Значит,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в сумме есть.

 

Если не взять  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , то наибольшая сумма будет:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 67, знаменатель: 60 конец дроби меньше 1,2. Значит,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби в сумме есть.

 

Если не взять  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , то наибольшая сумма будет:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: 60 конец дроби =1,2. Значит,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби в сумме есть.

 

Тогда сумма этих трех дробей равна  дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби и мы получаем неравенство:

 дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби больше 1,2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби больше дробь: числитель: 7, знаменатель: 60 конец дроби равносильно a меньше или равно 8.

Поэтому минимальная сумма составит:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 29, знаменатель: 24 конец дроби .

 

Ответ: а) да; б) нет; в)  дробь: числитель: 29, знаменатель: 24 конец дроби и  дробь: числитель: 77, знаменатель: 60 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства