Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние с по­мо­щью фор­мул при­ве­де­ния и двой­но­го угла:

Де­лить на можно, по­сколь­ку в урав­не­нии из­на­чаль­но был

б)  Ясно, что По­сколь­ку длина про­ме­жут­ка равна он не может со­дер­жать более одной точки из на­бо­ра с шагом

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Имеем:

б)  Если центр этой сферы спро­еци­ро­вать на он по­па­дет в центр грани. Тогда он лежит на пря­мой, со­еди­ня­ю­щей центр грани и пер­пен­ди­ку­ляр­ной Зна­чит, он рав­но­уда­лен от A и По­это­му сфера опи­са­на на самом деле около приз­мы. Най­дем сна­ча­ла ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти

Со­еди­ним цен­тры опи­сан­ных окруж­но­стей ос­но­ва­ний и возь­мем се­ре­ди­ну от­рез­ка между ними. Это и есть центр сферы, а ее ра­ди­ус тогда равен:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

За­ме­ним По­лу­чим:

Пе­рейдём к ос­нов­ной пе­ре­мен­ной:

По­сколь­ку вто­рой про­ме­жу­ток можно убрать, по­пасть в него нель­зя. Далее:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим Тогда и по­это­му MBPK  — впи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник. За­ме­тим далее, что по­сколь­ку то пря­мая KC со­став­ля­ет с BK ровно такой же угол, как ка­са­тель­ная в точке Зна­чит, она и есть ка­са­тель­ная.

б)  Имеем:

Най­дем BK по фор­му­ле для бис­сек­три­сы:

Най­дем из тре­уголь­ни­ка BKC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов. За­ме­тим, что

по свой­ству бис­сек­три­сы. Имеем:

от­ку­да

Тогда

Окон­ча­тель­но:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Каж­дый месяц сумма умно­жа­ет­ся на одно и то же число. По­сколь­ку за ме­ся­цев сумма уве­ли­чи­лась в раза, то за сле­ду­ю­щие ме­ся­цев она снова уве­ли­чит­ся в раза. Ито­го­вое уве­ли­че­ние будет в раза, по­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Пер­вое урав­не­ние можно за­пи­сать как

от­ку­да или Зна­чит, урав­не­ния

и

долж­ны иметь по два корня, при­чем эти корни могут сов­па­дать (по ним будут вы­счи­та­ны раз­ные y), кроме си­ту­а­ции, когда они сов­па­да­ют так, что то есть Вы­яс­ним сразу, когда это бы­ва­ет

При под­ста­нов­ке на­хо­дим и по­это­му при будет мень­ше кор­ней. Кроме того, иначе урав­не­ния не квад­рат­ные и не могут да­вать ровно 4 ре­ше­ния. В осталь­ных слу­ча­ях если урав­не­ния имеют по два корня, то нас это устро­ит. Зна­чит, их дис­кри­ми­нан­ты по­ло­жи­тель­ны. Имеем:

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Из каж­до­го го­ро­да вы­хо­дит дорог, по­это­му всего есть кон­цов дорог. Зна­чит, дорог

б)  Если те­перь из каж­до­го го­ро­да вы­хо­дит дорог, то всего есть кон­цов дорог. Зна­чит, дорог что не­воз­мож­но.

в)  Можно оста­вить дорог (на­при­мер, со­еди­ня­ю­щих сто­ли­цу со всеми го­ро­да­ми, тогда от­ку­да угод­но куда угод­но можно будет про­ехать через сто­ли­цу), по­это­му удаст­ся за­крыть

Если оста­вить всего или мень­ше дорог на n го­ро­дов, то это будет не­воз­мож­но. В самом деле, у дорог конца, по­это­му най­дет­ся город (на самом деле даже ми­ни­мум 4 таких го­ро­да) из ко­то­рых вы­хо­дит по одной до­ро­ге (0 дорог быть не может, из него тогда ни­ку­да нель­зя до­е­хать). Ясно, что про­ез­жать тран­зи­том через такой город нель­зя. По­это­му если мыс­лен­но убрать с карты этот город и эту до­ро­гу, на осталь­ной карте можно будет про­ехать от лю­бо­го го­ро­да до лю­бо­го дру­го­го. При этом число дорог снова на мень­ше числа го­ро­дов. Про­дол­жая эти дей­ствия, при­дем к си­ту­а­ции дорог и го­ро­да, ко­то­рая нам не под­хо­дит.

Ответ: а) 55; б) нет; в) 45.