Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C3 № 526923

Решите неравенство: 4 умножить на логарифм по основанию 2 (8 минус 2 в степени 1 плюс x в степени 2 ) минус логарифм по основанию 2 в степени 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2)\le4x в степени 2 плюс 3.

Решение.

Преобразуем неравенство:

4 логарифм по основанию 2 (2 в степени x в степени 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2)) минус логарифм по основанию 2 в степени 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2) меньше или равно 4x в степени 2 плюс 3 равносильно

 

 

 равносильно 4x в степени 2 плюс 4 логарифм по основанию 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2) минус логарифм по основанию 2 в степени 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2) меньше или равно 4x в степени 2 плюс 3 равносильно

 

 равносильно 4 логарифм по основанию 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2) минус логарифм по основанию 2 в степени 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2) меньше или равно 3.

Заменим t= логарифм по основанию 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2). Получим:

4t минус t в степени 2 меньше или равно 3 равносильно t в степени 2 минус 4t плюс 3 больше или равно 0 равносильно (t минус 1)(t минус 3) больше или равно 0 равносильно t принадлежит ( минус принадлежит fty; 1]\cup [3; плюс принадлежит fty).

Перейдём к основной переменной:

 логарифм по основанию 2 (2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2] принадлежит [ минус принадлежит fty; 1)\cup (3; плюс принадлежит fty) равносильно 2 в степени 3 минус x в степени 2 минус 2 принадлежит (0; 2]\cup [8; плюс принадлежит fty) равносильно

 

 равносильно 2 в степени 3 минус x в степени 2 принадлежит (2; 4]\cup [10; плюс принадлежит fty) равносильно 3 минус x в степени 2 принадлежит (1; 2]\cup [ логарифм по основанию 2 10; плюс принадлежит fty).

Поскольку  логарифм по основанию 2 10 больше 3, второй промежуток можно убрать, попасть в него нельзя. Далее:

3 минус x в степени 2 принадлежит (1; 2] равносильно x в степени 2 принадлежит [1;2) равносильно x принадлежит ( минус корень из { 2}; минус 1]\cup [1; корень из { 2}).

Ответ: ( минус корень из { 2}; минус 1]\cup [1; корень из { 2}).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198.
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.2.3 Показательные неравенства, 2.2.4 Логарифмические неравенства, 2.2.9 Метод интервалов