ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 526923 Добавить в вариант

Решите неравенство: $4 умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \leqslant4x в квадрате плюс 3.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 4x в квадрате плюс 3 равносильно$

$равносильно 4x в квадрате плюс 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 4x в квадрате плюс 3 равносильно$

$равносильно 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3.$

Заменим $t= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$ Получим:

$4t минус t в квадрате меньше или равно 3 равносильно t в квадрате минус 4t плюс 3 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $4t минус t в квадрате меньше или равно 3 равносильно t в квадрате минус 4t плюс 3 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Перейдём к основной переменной:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая квадратная скобка принадлежит левая квадратная скобка минус бесконечность ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка равносильно 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 принадлежит левая круглая скобка 0; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 8; плюс бесконечность правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка 2; 4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10; плюс бесконечность правая круглая скобка равносильно 3 минус x в квадрате принадлежит левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 10; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Поскольку $логарифм по основанию 2 10 больше 3,$ второй промежуток можно убрать, попасть в него нельзя. Далее:

$3 минус x в квадрате принадлежит левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка равносильно x в квадрате принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь