Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 526926

Найдите все значения параметра а, при каждом система

 система выражений y в степени 2 минус 2x в степени 2 плюс xy плюс 9x минус 9=0,ax в степени 2 плюс 2ax минус y минус 3 плюс a=0 конец системы .

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Первое уравнение можно записать как

(y плюс 2x минус 3)(y минус x плюс 3)=0,

откуда y=3 минус 2x или y=x минус 3. Значит, уравнения

ax в степени 2 плюс 2ax минус 3 плюс 2x минус 3 плюс a=0

и

ax в степени 2 плюс 2ax плюс 3 минус x минус 3 плюс a=0

должны иметь по два корня, причем эти корни могут совпадать (по ним будут высчитаны разные y), кроме ситуации, когда они совпадают так, что 3 минус 2x=x минус 3, то есть x=2. Выясним сразу, когда это бывает

При подстановке x=2 находим 9a минус 2=0 и 9a минус 2=0, поэтому при a= дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 будет меньше корней. Кроме того, a не равно 0, иначе уравнения не квадратные и не могут давать ровно 4 решения. В остальных случаях если уравнения имеют по два корня, то нас это устроит. Значит, их дискриминанты положительны. Имеем:

ax в степени 2 плюс (2a плюс 2)x плюс a минус 6=0 и ax в степени 2 плюс (2a минус 1)x плюс a=0;

 

(2a плюс 2) в степени 2 плюс 24a минус 4a в степени 2 больше 0 и (2a минус 1) в степени 2 минус 4a в степени 2 больше 0;

 

32a плюс 4 больше 0 и  минус 4a плюс 1 больше 0;

 

a принадлежит левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 правая круглая скобка .

Окончательно: a принадлежит левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 правая круглая скобка .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с параметром