Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 526927
i

Го­су­дар­ство Новая Ан­чу­рия рас­по­ло­же­но на ост­ро­ве, име­ю­щем форму круга. В стра­не 11 го­ро­дов, рас­по­ло­жен­ных на по­бе­ре­жье. Каж­дый город на­пря­мую со­еди­нен с каж­дым из осталь­ных го­ро­дов ав­то­трас­сой.

а)   Сколь­ко ав­то­трасс в го­су­дар­стве Новая Ан­чу­рия?

б)   После на­вод­не­ния не­сколь­ко ав­то­трасс в стра­не за­кры­ли на ре­монт. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь каж­дый город ост­ро­ва стал на­пря­мую со­еди­нен ав­то­трас­сой ровно с пятью дру­ги­ми го­ро­да­ми?

в)  Какое наи­боль­шее число ав­то­трасс в Новой Ан­чу­рии можно од­но­вре­мен­но за­крыть на ре­монт, чтобы из каж­до­го го­ро­да можно было до­брать­ся на ав­то­мо­би­ле до лю­бо­го дру­го­го?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из каж­до­го го­ро­да вы­хо­дит 10 дорог, по­это­му всего есть 10 умно­жить на 11=110 кон­цов дорог. Зна­чит, дорог 55.

б)  Если те­перь из каж­до­го го­ро­да вы­хо­дит 5 дорог, то всего есть 5 умно­жить на 11=55 кон­цов дорог. Зна­чит, дорог 27,5, что не­воз­мож­но.

в)  Можно оста­вить 10 дорог (на­при­мер, со­еди­ня­ю­щих сто­ли­цу со всеми го­ро­да­ми, тогда от­ку­да угод­но куда угод­но можно будет про­ехать через сто­ли­цу), по­это­му удаст­ся за­крыть 45.

Если оста­вить всего n минус 2 или мень­ше дорог на n го­ро­дов, то это будет не­воз­мож­но. В самом деле, у n минус 2 дорог 2n минус 4 конца, по­это­му най­дет­ся город (на самом деле даже ми­ни­мум 4 таких го­ро­да) из ко­то­рых вы­хо­дит по одной до­ро­ге (0 дорог быть не может, из него тогда ни­ку­да нель­зя до­е­хать). Ясно, что про­ез­жать тран­зи­том через такой город нель­зя. По­это­му если мыс­лен­но убрать с карты этот город и эту до­ро­гу, на осталь­ной карте можно будет про­ехать от лю­бо­го го­ро­да до лю­бо­го дру­го­го. При этом число дорог снова на 2 мень­ше числа го­ро­дов. Про­дол­жая эти дей­ствия, при­дем к си­ту­а­ции 0 дорог и 2 го­ро­да, ко­то­рая нам не под­хо­дит.

 

Ответ: а) 55; б) нет; в) 45.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 198
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025