Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, а бо­ко­вые ребра 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость A₁C₁E пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BB₁E₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми A₁C₁E и ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ка­са­тель­ная в точке А к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС в точке Е, AD  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что АЕ  =  ЕD.

б)  Из­вест­но, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ  =  9, ВЕ  =  4, Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны В до пря­мой АС.

Ари­старх Луков‐Ар­ба­ле­тов хочет ку­пить пакет акций быст­ро­рас­ту­щей ком­па­нии. В на­ча­ле года у Ари­стар­ха со­всем не было денег, а пакет стоил 100 000 руб­лей. В се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца Ари­старх от­кла­ды­ва­ет на по­куп­ку па­ке­та акций одну и ту же сумму, а в конце каж­до­го ме­ся­ца пакет до­ро­жа­ет на 20%. Какую наи­мень­шую сумму нужно от­кла­ды­вать Ари­стар­ху каж­дый месяц, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить во­жде­лен­ный пакет акций?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке

По ре­зуль­та­там теста по ма­те­ма­ти­ке уче­ник по­лу­ча­ет не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник вой­дет в груп­пу А, если ко­ли­че­ство бал­лов не менее 45. Если ко­ли­че­ство бал­лов мень­ше 45, то уче­ник вой­дет в груп­пу Б. Чтобы не рас­стра­и­вать ро­ди­те­лей, ре­ши­ли каж­до­му уче­ни­ку до­ба­вить 8 бал­лов, по­это­му ко­ли­че­ство уче­ни­ков груп­пы А уве­ли­чи­лось.

а)  Мог ли после этого по­ни­зить­ся сред­ний балл уче­ни­ков груп­пы Б?

б)  Мог ли после этого по­ни­зить­ся сред­ний балл уче­ни­ков груп­пы Б, если при этом сред­ний балл уче­ни­ков груп­пы А тоже по­ни­зил­ся?

в)  Пусть пер­во­на­чаль­но сред­ний балл груп­пы А был 52 балла, груп­пы Б  — 34 балла, а сред­ний балл всех уче­ни­ков со­ста­вил 46 бал­лов. После до­бав­ле­ния сред­ний балл груп­пы А стал равен 58 бал­лов, груп­пы Б  — 38. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков воз­мож­на такая си­ту­а­ция?