РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 20022259

А. Ларин: Тренировочный вариант № 228.

Дано уравнение $3 синус в квадрате x минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус 2=0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ;4 Пи } правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра АВ  =  6, AD  =  12, AA₁  =  10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ : ED  =  1 : 2. Плоскость α проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ₁.

а)  Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б)  Найдите расстояние от точки В₁ до плоскости сечения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите неравенство: $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше \log в квадрате _4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В  — тупой, BC : CH  =  4 : 5, BH  =  BQ.

А)  Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника ABQ окружности в $дробь: числитель: 2 корень из 6 , знаменатель: 3 конец дроби$ раз больше BQ.

Б)  Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Руслан вложил 1 млн. в банк под 14% годовых (начисление в конце года на общую сумму). При этом каждый месяц он снимает по Х тыс. рублей на проживание (начиная со 2 года) в течение 4 лет, и в конце 5 года после начисления процентов сумма оказалась не менее 1 млн. Определите какую максимальную сумму он мог снимать ежемесячно. В ответе укажите целочисленное значение в тысячах рублей?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение

$a левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка |x| плюс 2 правая круглая скобка минус a минус 3 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка |x| плюс 2 правая круглая скобка минус a плюс 2 конец аргумента =0$

имеет ровно два различных корня

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На листочке написано несколько натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число m, выписываемое на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется только одно такое число m, а все остальные числа, равные m, стираются. Например, если задуманы числа 2,3,4,5, то на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.

а)  Приведите пример записанных на листочке чисел, при которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких записанных на листочке чисел, для которых на доске записан набор чисел 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры записанных на листочке чисел, для которых на доске будет записан набор чисел 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Решение. а)  Например $2,2,2,2$

б)  Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе  — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 9  — наименьшее число в наборе  — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе  — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $дробь: числитель: 52, знаменатель: 9 конец дроби ,$ то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11  =  22. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа  — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521699	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; минус арктангенс 2 плюс Пи k;k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус арктангенс 2 плюс 4 Пи правая фигурная скобка .$
2	521700	б) $дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента конец дроби .$
3	521701	$левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$
4	521702	б) $дробь: числитель: 40, знаменатель: 3 конец дроби .$
5	521703	13.
6	521704	$левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 7; бесконечность правая круглая скобка$
7	521705	а) 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 228.

Ключ