Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
а) Например, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов этих чисел равна 25 − 13 = 12. Если добавить число 4, то разность будет равна 81 − 29 = 52, что ровно на 40 больше, чем было.
б) Обозначим члены прогрессии a1, a2,..., an. Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна
Когда к прогрессии добавили член 
то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым
где d — разность прогрессии.
Из условия следует, что 
и 
поэтому
Получаем неравенство
откуда 
Значит, 13 членов в начальной прогрессии быть не может.
в) Из равенства 
следует, что n является делителем числа 1768 = 2 · 2 · 2 · 13 · 17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. При n = 8 получаем
Если 
то левая часть не меньше, чем 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение
которое имеет единственный натуральный корень 5. Значит, прогрессия из восьми чисел 5, 6, 7, ..., 12 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а) 2, 3; б) нет; в) 8.