Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку при всех урав­не­ние может вы­пол­нять­ся толь­ко при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий: Урав­не­ние дает и такие зна­че­ния под­хо­дят во все осталь­ные урав­не­ния.

б)  На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на DE, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Пусть также тогда По­сколь­ку тре­уголь­ник MPN  — пря­мо­уголь­ный. Зна­чит, и плос­ко­сти со­дер­жа­щих их гра­ней пер­пен­ди­ку­ляр­ныы,по­сколь­ку грани пе­ре­се­ка­ют­ся по не­ко­то­рой пря­мой, про­хо­дя­щей через P и па­рал­лель­ной AB и DE, по­это­му MP и NP пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей.

б)  Ра­ди­ус впи­сан­ной сферы равен ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти PMN, а ра­ди­ус опи­сан­ной сферы  — ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти Те­перь вы­чис­лим.

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим и при­ве­дем все ло­га­риф­мы к ос­но­ва­нию 2,учи­ты­вая что имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Вы­вер­нем за­да­чу. Обо­зна­чим за се­ре­ди­ну дуги CB, тогда Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр KH на AC и от­ме­тим на AC точку так, что Тогда в тре­уголь­ни­ке CKE вы­со­та сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной и Зна­чит, у тре­уголь­ни­ков и ABK равны две сто­ро­ны и угол не между ними. Такие тре­уголь­ни­ки могут быть равны или иметь углы, со­став­ля­ю­щие в сумме Вто­рое не­воз­мож­но, по­сколь­ку Зна­чит, тре­уголь­ни­ки равны, то есть по­это­му по­стро­ен­ная таким об­ра­зом точка сов­па­да­ет с точ­кой E, пер­пен­ди­ку­ляр- с пер­пен­ди­ку­ля­ром из за­да­чи и точка   — с точ­кой K, то есть AK  — бис­сек­три­са.

б)  

Пусть L  — ос­но­ва­ние бис­сек­три­сы. Тогда от­ку­да По фор­му­ле для бис­сек­три­сы имеем По тео­ре­ме о пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хор­дах

и

На­ко­нец, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем Зна­чит, от­ку­да

Окон­ча­тель­но

Ответ: б)

Ре­ше­ние. До­пу­стим было n ме­ся­цев с вы­пла­та­ми по тысяч. Тогда раз­мер кре­ди­та со­став­лял мил­ли­о­нов руб­лей. Вы­пла­ты за пер­вые ме­ся­цы со­ста­ви­ли пер­вая из осталь­ных вы­плат со­ста­ви­ла а даль­ше вы­пла­ты умень­ша­лись на мил­ли­о­на  — от тысяч. Вы­чис­ляя сумму ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем урав­не­ние

Зна­чит, кре­дит в мил­ли­о­на руб­лей был взят на ме­ся­цев.

Ответ: а) 2,6 млн. руб.; б) 16.

Ре­ше­ние. Если по­ме­нять ме­ста­ми x и y, урав­не­ния не из­ме­нят­ся. Зна­чит, в одном из ре­ше­ний (иначе они все раз­би­ва­ют­ся на пары и их не три). Пусть в этом ре­ше­нии Тогда имеем и Скла­ды­вая эти урав­не­ния, на­хо­дим Под­став­ляя это во вто­рое урав­не­ние, по­лу­ча­ем после пре­об­ра­зо­ва­ний урав­не­ние с кор­ня­ми и В пер­вом слу­чае во вто­ром

Те­перь изу­чим эти ва­ри­ан­ты. При­ба­вим к пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы вто­рое, до­мно­жен­ное на 5. По­лу­чим Пусть

При имеем или Под­став­ляя это во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, на­хо­дим со­от­вет­ствен­но или Вто­рое не­воз­мож­но, а пер­вое дает лишь один ответ (уга­да­но по тео­ре­ме Виета).

При имеем или Под­став­ляя это во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, на­хо­дим со­от­вет­ствен­но или Пер­вое дает лишь один ответ (уга­да­но по тео­ре­ме Виета).Вто­рое дает два от­ве­та, по­сколь­ку числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния у ко­то­ро­го дей­стви­тель­но есть два по­ло­жи­тель­ных раз­лич­ных корня.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер и

б)  Нет. Обо­зна­чив эти числа за по­лу­чим По­де­лив на и обо­зна­чив по­лу­чим урав­не­ние у ко­то­ро­го нет ра­ци­о­наль­ных кор­ней, по­это­му таких a и b не най­дет­ся.

в)  Пусть цифры на­ше­го числа равны По­лу­ча­ем урав­не­ние Ясно, что c крат­но 5, по­лу­ча­ем два слу­чая.

Если то что не­воз­мож­но, по­сколь­ку

Если же то то есть Это можно за­пи­сать в виде при­чем то есть вто­рой мно­жи­тель  — от до и яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем Зна­чит, и было число