Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521356
i

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках А, В и С и ра­ди­у­са­ми, рав­ны­ми а, b и с со­от­вет­ствен­но, по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точка К, М, Р.

а)   До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка КМР к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС равно дробь: чис­ли­тель: 2abc, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

 

б)   Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка КМР, если из­вест­но, что а  =  6, b  =  7, с  =  1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть K при­над­ле­жит AB, M при­над­ле­жит BC, P при­над­ле­жит AC.

Тогда дробь: чис­ли­тель: S_KMP, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: S_AKP, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: S_BKM, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: S_CPM, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка c плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

После при­ве­де­ния к об­ще­му зна­ме­на­те­лю по­лу­чим тре­бу­е­мое.

 

б)  За­ме­тим, что AK= дробь: чис­ли­тель: AB плюс AC минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му K  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­ной AB. Ана­ло­гич­но и точки M и P. По­это­му нам нужно найти ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Он равен дробь: чис­ли­тель: 2S_ABC, зна­ме­на­тель: AB плюс BC плюс AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 умно­жить на 7 умно­жить на 6 умно­жить на 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 плюс 7 плюс 8 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 203
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025