PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем произведение косинусов в сумму:
б) Чтобы отобрать корни, принадлежащие отрезку 
возьмем 
и 
получим:
Ответ: а) 
б) 
Примечание.
Некоторые решения уравнения одновременно содержатся в обеих найденных сериях. Чтобы не было повторений, ответ можно записать в виде 
Приведем идею другого решения.
Используем формулы косинуса двойного и тройного угла, получим:
заменой 
сведем уравнение к уравнению 
решив которой находим: 
откуда:
что и дает ответ.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
(высота в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу именно в таком отношении). Поэтому прямая CK перпендикулярна прямой AB а тогда по теореме о трех перпендикулярах и прямая PK перпендикулярна прямой AB. 
Поэтому 
Перейдем к основанию 2 и рационализируем неравенство:
):
Учитывая ограничения, получим: 
Тогда в равнобедренном треугольнике AMC находим: 
тыс. руб. У Паши окажется через год 
тыс. руб, еще через год 
тыс. руб и, наконец, еще через год 
По условию тогда 
откуда 
Поэтому наименьшее такое целое n это 
и подставим в первое:
с центрами в точках 
(дуги, а не окружности целиком, потому что нужно следить за знаками при раскрытии модулей). Все эти окружности проходят через начало координат, поэтому точка 
тоже принадлежит фигуре. Будем называть дуги по номерам четвертей. Второе уравнение дает 
то есть задает прямую, проходящую через точку 
до прямой было равно 
Приравниваем:
и давать два решения (только в четвертой четверти), пока либо не пройдет через точку 
либо не коснется окружности в первой четверти. Через 
она пройдет если 
то есть 
Коснется -- если центр будет на нужном расстоянии от прямой. Приравниваем:
снова будет три решения — два решения на четвертой и первой дугах совпадут. Затем решений будет два.
Снова начнем с 
и будем уменьшать 
(коснуться дуги во второй четверти она не может). Дальше их снова будет два (на второй и четвертой дугах) и так будет все время, кроме случая, когда прямая проходит через начало координат — отдельную точку нашей фигуры. Там решений будет три. Это произойдет при 
и тройки не удастся распределить поровну, поэтому придется убрать еще одно число. Если убрать тройку, то все получится. Например: 