Ре­ше­ние. За 6 не­дель в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1800  6  =  10 800 ли­стов бу­ма­ги. Раз­де­лим 10 800 на 500:

Зна­чит, нужно ку­пить не мень­ше 22 пачек.

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. Видно, что более 2 мил­ли­мет­ров осад­ков вы­па­да­ло три дня: 8, 12 и 14 ян­ва­ря (см. рис.).

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. В са­мо­ле­те 23 + 25 = 48 мест удоб­ны пас­са­жи­ру В., а всего в са­мо­ле­те 100 мест. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место равна 48 : 100 = 0,48.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 49.

При­ве­дем ре­ше­ние Дани Хик­ка­но­ва.

В тре­уголь­ни­ке ABC

В тре­уголь­ни­ке ACF

В тре­уголь­ни­ке AOF

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−1; 0), (1; 2) и (6,6; 10). В них со­дер­жат­ся целые точки 7, 8 и 9. Всего 3 точки.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния a и бо­ко­вое ребро H фор­му­лой

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч  — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым, тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста  — км/ч. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на часа рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние даль­ше:

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, SH  — ее вы­со­та, M  — се­ре­ди­на BC. Про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мая AM. Но AM − вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что

б)  Пусть CK  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BSC, а AK  — рав­но­го ему тре­уголь­ни­ка ASB. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый угол AKC. Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM = 6a. тогда

За­ме­тим, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC может быть вы­чис­ле­на двумя спо­со­ба­ми: Зна­чит,

Те­перь мы можем найти ис­ко­мый угол AKC при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Ре­ше­ние. Пе­рейдём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC  =  b, BC  =  a и ги­по­те­ну­зой AB  =  c. Пусть окруж­ность с цен­тром O_c ра­ди­у­са r_c ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы в точке T, про­дол­же­ний ка­те­тов BC и AC − в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, а p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. Из ра­вен­ства от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, сле­ду­ет, что CM  =  CB + BM  =  CB + BT и CN  =  CA + AN  =  CA + AT, по­это­му

а так как CM  =  CN, то CM  =  p. Далее, пусть окруж­ность с цен­тром O_a ра­ди­у­са r_a ка­са­ет­ся ка­те­та BC в точке K, а про­дол­же­ний сто­рон AB и AC  — в точка P и Q со­от­вет­ствен­но. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем AQ  =  AP  =  p. Че­ты­рех­уголь­ни­ки NO_cMC и KO_aQC  — квад­ра­ты, по­это­му

зна­чит, r_a < r_c.

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы дан­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, не может быть равен 7.

Таким об­ра­зом, воз­мож­ны толь­ко такие слу­чаи: Либо ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы, равен 17, а ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся од­но­го из ка­те­тов, равен 7, либо ра­ди­у­сы окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся ка­те­тов, равны 7 и 17.

Пред­по­ло­жим, что r_c  =  17 и r_a  =  7 (рис. 1).

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр O_aF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на O_cN. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Пусть те­перь r_b  =  17 и r_a  =  7. (рис 2)

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му точки O_a,C и O_b лежат на оной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 26 или

Ре­ше­ние. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) на июль каж­до­го года дол­жен умень­шать­ся до нуля сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

По усло­вию, в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25%, зна­чит, долг в ян­ва­ре каж­до­го года равен:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года со­став­ля­ют:

По усло­вию, каж­дая из вы­плат долж­на быть боль­ше 5 млн руб­лей. Это будет верно, если ми­ни­маль­ная из вы­плат боль­ше 5 млн руб­лей то есть если Тогда:

Наи­мень­шее целое ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства  — число 11. Зна­чит, ис­ко­мый раз­мер кре­ди­та  — 11 млн руб­лей.

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. За­пи­шем урав­не­ние в виде

По­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей урав­не­ния (см. рис.) Из ри­сун­ка видно, что под­хо­дя­щих зна­че­ний a ровно два  — при одном из них гра­фик пра­вой части про­хо­дит через точку при дру­гом  — ка­са­ет­ся от­ра­жен­но­го участ­ка па­ра­бо­лы.

Пер­вое про­ис­хо­дит при а вто­рое  — когда урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При­рав­ни­вая дис­кри­ми­нант к нулю, на­хо­дим

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 485982.

Ре­ше­ние. а)  Пусть a  =  11, b  =  30, c  =  16 и d  =  39. Тогда

б)  Пред­по­ло­жим, что Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, имеем

Сле­до­ва­тель­но, числа и имеют раз­ные знаки и не могут быть равны. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Из усло­вия сле­ду­ет, что и Зна­чит, От­сю­да, учи­ты­вая, что число b целое, по­лу­ча­ем, что b ≤ 19.

Ис­поль­зуя не­ра­вен­ства

по­лу­ча­ем

Пусть a  =  96, b  =  19, c  =  81 и d  =  10. Тогда Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние дроби равно

Ответ: а)  да, на­при­мер, если a  =  11, b  =  30, c  =  16 и d  =  39; б)  нет; в)