Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 504850

а) Решите уравнение 4 синус в квадрате x плюс 8 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус 3 Пи ; дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

4 синус в квадрате x плюс 8 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно 4(1 минус косинус в квадрате x) минус 8 косинус x плюс 1=0.

Преобразуем уравнение дальше:

4 косинус в квадрате x плюс 8 косинус x минус 5=0 равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке  левая квадратная скобка минус 3 Пи ; дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка :x= минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ; б)  минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.
Методы алгебры: Формулы приведения