СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 516761

В параллелепипеде точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.

Ре­ше­ние.

а) По­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой BD, она па­рал­лель­на и пря­мой B1D1, а, зна­чит, плос­кость α, пе­ре­се­ка­ет плос­кость B1D1С1 по не­ко­то­рой пря­мой MN, па­рал­лель­ной пря­мой B1D1. Пусть точка и пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую A1C1 в точке L, а пря­мая KL пе­ре­се­ка­ет пря­мую CC1 в точке P. Тогда точка пе­ре­се­че­ния пря­мых A1C и KL есть точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с диа­го­на­лью A1C (см. рис. 1).

Пря­мая MN па­рал­лель­на B1D1 и точка M се­ре­ди­на ребра C1D1, Зна­чит, от­ре­зок MN ― сред­няя линия тре­уголь­ни­ка B1C1D1 и, сле­до­ва­тель­но,

 

По­ло­жим тогда Далее имеем (см. рис. 2):

1) от­ку­да От­сю­да на­хо­дим: и тогда

2) от­ку­да

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б) Из того, что и по­лу­ча­ем, что А зна­чит, со­глас­но тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, Кроме того, Таким об­ра­зом, угол ― ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла.

Далее имеем: Из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим: от­ку­да

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 516780: 516761 Все

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Григорий Мохин 20.12.2018 11:06

На рис. 1 изображен прямоугольный параллелепипед, на рис. 2 - прямоугольник. В условии это не сказано и, вообще говоря, за это могут снять баллы. Решение п. а) верно для произвольного параллелепипеда.

Александр Иванов

В решении пункта а) нигде нет ссылок на то, что параллелепипед прямоугольный. Все рассуждения справедливы для любого произвольного параллелепипеда. Поэтому баллы снимать не за что.