В параллелепипеде 
точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении 
Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении 
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.
а) Поскольку плоскость α параллельна прямой BD, она параллельна и прямой B1D1, а, значит, плоскость α, пересекает плоскость B1D1С1 по некоторой прямой MN, параллельной прямой B1D1. Пусть точка 
и прямая MN пересекает прямую A1C1 в точке L, а прямая KL пересекает прямую CC1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых A1C и KL есть точка пересечения плоскости α с диагональю A1C (см. рис. 1).
Прямая MN параллельна B1D1 и точка M середина ребра C1D1, Значит, отрезок MN ― средняя линия треугольника B1C1D1 и, следовательно, 
Положим 
тогда 
Далее имеем (см. рис. 2):
1) 
откуда 
Отсюда находим: 
и тогда 
2) 
откуда
что и требовалось доказать.
б) Из того, что 
и 
получаем, что 
А значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Кроме того, 
Таким образом, угол 
― линейный угол искомого двугранного угла.
Далее имеем: 
Из треугольника находим: 
откуда 
Ответ: б) 
На рис. 1 изображен прямоугольный параллелепипед, на рис. 2 - прямоугольник. В условии это не сказано и, вообще говоря, за это могут снять баллы. Решение п. а) верно для произвольного параллелепипеда.
В решении пункта а) нигде нет ссылок на то, что параллелепипед прямоугольный. Все рассуждения справедливы для любого произвольного параллелепипеда. Поэтому баллы снимать не за что.