СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 516761

В параллелепипеде точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.

Решение.

а) Поскольку плоскость α параллельна прямой BD, она параллельна и прямой B1D1, а, значит, плоскость α, пересекает плоскость B1D1С1 по некоторой прямой MN, параллельной прямой B1D1. Пусть точка и прямая MN пересекает прямую A1C1 в точке L, а прямая KL пересекает прямую CC1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых A1C и KL есть точка пересечения плоскости α с диагональю A1C (см. рис. 1).

Прямая MN параллельна B1D1 и точка M середина ребра C1D1, Значит, отрезок MN ― средняя линия треугольника B1C1D1 и, следовательно,

 

Положим тогда Далее имеем (см. рис. 2):

1) откуда Отсюда находим: и тогда

2) откуда

что и требовалось доказать.

 

б) Из того, что и получаем, что А значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, Кроме того, Таким образом, угол ― линейный угол искомого двугранного угла.

Далее имеем: Из треугольника находим: откуда

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 516780: 516761 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Григорий Мохин 20.12.2018 11:06

На рис. 1 изображен прямоугольный параллелепипед, на рис. 2 - прямоугольник. В условии это не сказано и, вообще говоря, за это могут снять баллы. Решение п. а) верно для произвольного параллелепипеда.

Александр Иванов

В решении пункта а) нигде нет ссылок на то, что параллелепипед прямоугольный. Все рассуждения справедливы для любого произвольного параллелепипеда. Поэтому баллы снимать не за что.