РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 13116235

Бегун пробежал 280 м за 32 секунды. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово ниже минус 10 градусов Цельсия.

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.

Найдите корень уравнения $корень 5 степени из: начало аргумента: x минус 3 конец аргумента = минус 2.$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 30. Найдите высоту этого треугольника.

Прямая $y= минус 6x минус 10$ является касательной к графику функции $y=x в кубе плюс 4x в квадрате минус 6x минус 10.$ Найдите абсциссу точки касания.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Найдите значение выражения $9 умножить на корень 6 степени из: начало аргумента: 243 конец аргумента умножить на корень 30 степени из: начало аргумента: 243 конец аргумента .$

10.  

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_в (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_др кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%,$ где $c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка$   — теплоёмкость воды, $q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг$   — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m_в  =  90 кг воды от 17 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 18%. Ответ выразите в килограммах.

11.  

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 36 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

12.  

Найдите наименьшее значение функции $y=e в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 6e в степени x плюс 3$ на отрезке $левая квадратная скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

13.  

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 13 синус в квадрате x минус 5 синус x, знаменатель: 13 косинус x плюс 12 конец дроби =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 1, а ребро основания равно 2.

а)  Докажите, что точки A и $B_1$ равноудалены от плоскости $A_1BC_1.$

б)  Найдите расстояние от точки A₁ до прямой BC₁.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $11 десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс 11x плюс 30 правая круглая скобка меньше или равно 12 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 5 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке $A.$ Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ALM.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

17.  

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая  — 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений |x в квадрате минус 2x| минус x в квадрате =|y в квадрате минус 2y| минус y в квадрате ,x плюс y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1.  Если $x в квадрате минус 2x\leqslant0$ и $y в квадрате минус 2y\leqslant0,$ то получаем уравнение

$минус x в квадрате плюс 2x минус x в квадрате = минус y в квадрате плюс 2y минус y в квадрате равносильно y в квадрате минус x в квадрате минус y плюс x=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y минус 1 правая круглая скобка =0.$

Полученное уравнение задаёт пару прямых $y=x$ и $x плюс y=1.$ Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата $2\times 2$ с вершиной в начале координат.

2.  Если $x в квадрате минус 2x\leqslant0$ и $y в квадрате минус 2y больше 0,$ то получаем уравнение

$минус x в квадрате плюс 2x минус x в квадрате =y в квадрате минус 2y минус y в квадрате равносильно y=x в квадрате минус x.$

Полученное уравнение задаёт параболу $y=x в квадрате минус x.$ Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3.  Если $x в квадрате минус 2x больше 0$ и $y в квадрате минус 2y\leqslant0,$ то получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x минус x в квадрате = минус y в квадрате плюс 2y минус y в квадрате равносильно x=y в квадрате минус y.$

Полученное уравнение задаёт параболу $x=y в квадрате минус y.$ Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4.  Если $x в квадрате минус 2x больше 0$ и $y в квадрате минус 2y больше 0,$ то получаем уравнение

$x в квадрате минус 2x минус x в квадрате =y в квадрате минус 2y минус y в квадрате равносильно y=x.$

Полученное уравнение задаёт прямую $y=x.$ Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата $2\times 2$ с вершиной в начале координат.

Точки $A левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка 1;0 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка$ являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых $x=0$ и/или $y=0,$ поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением $y=x,$ отрезка AB прямой $x плюс y=1,$ дуги $\omega_1$ параболы $y=x в квадрате минус x$ с концами в точках B и C и дуги $\omega_2$ параболы $x=y в квадрате минус y$ с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a  =  0 прямая m касается парабол $x=y в квадрате минус y$ и $y=x в квадрате минус x$ в точке C.

При a  =  1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a  =  0 прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При $0 меньше a меньше 1$ прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При $a меньше 0$ или $a больше 1$ прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $0 меньше a\leqslant1.$

Ответ: $0 меньше a\leqslant1.$

Примечание Алексея Лапатина.

Утверждение «при a  =  0 прямая m, касается парабол», используемое авторами в официальных критериях, далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.

1.  Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y  =  x для второй кривой m также будет касательной.

2.  Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y  =  −x отвечает этому требованию для обеих парабол.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a отличающееся от искомого только исключением точки a  =  1	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	0
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

19.  

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а)  Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б)  Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в)  Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Решение. а)  Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример  — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б)  Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания: $a меньше b меньше c меньше d$ и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника: $a в квадрате плюс b в квадрате =c в квадрате ,$ $b в квадрате плюс c в квадрате =d в квадрате ,$ $a в квадрате плюс c в квадрате =d в квадрате ,$ и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел $a=b,$ противоречащее условию.

в)  Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое  — в четырёх, пятое и шестое  — в трёх, седьмое и восьмое  — в двух, девятое и десятое  — в одном. Итого отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: $1, корень из 2 , корень из 3 ,... корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  30.

Примечание.

Заметим, что при решении пункта б) не требуется, чтобы числа были натуральными, ни даже целыми. Никакие четыре различных числа не могут дать три пифагоровы тройки.

С другой стороны, отметим, что четыре различных натуральных числа могут образовать одну пифагорову тройку, но не могут образовать двух пифагоровых троек. В теории чисел этот факт известен как одна из эквивалентных формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике: не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. Доказательство этого факта было дано самим Ферма и может быть исследовано читателем самостоятельно.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	318753	31,5
2	500095	3
3	24221	16
4	509148	0,5
5	27471	-29
6	52551	45
7	6077	0
8	27048	5
9	62649	27
10	42215	21
11	109109	342
12	315127	-6
13	513446	а) $левая фигурная скобка Пи k, арксинус дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 3 Пи ; минус 2 Пи ; арксинус дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби минус 2 Пи .$
14	507785	$дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$
15	484594	$левая квадратная скобка минус 15, минус 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 5, 5 правая квадратная скобка .$
16	500470	2; 5.
17	515829	5.
18	514388	$0 меньше a\leqslant1.$
19	514433	а)  да; б)  нет; в)  30.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. a; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ