Ре­ше­ние. По гра­фи­ку функ­ции опре­де­ля­ем, что и Тогда по­лу­ча­ем си­сте­му:

Зна­чит, Решим урав­не­ние

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что было 7 ме­ся­цев с тем­пе­ра­ту­рой выше нуля (см. рис.).

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Угол ABC опи­ра­ет­ся на чет­верть окруж­но­сти, то есть на дугу 90°. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, по­это­му он равен 45°.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Пусть x  — ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное в пер­вом хо­зяй­стве. Тогда   — ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное во вто­ром хо­зяй­стве. По фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти имеем:

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Сумма кор­ней урав­не­ния равна 15, а их про­из­ве­де­ние равно 56. Сле­до­ва­тель­но, это числа 7 и 8. Мень­ший из них равен 7.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку имеем:

Ответ: 2,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть длина ка­те­та ВС равна х, тогда длина АС равна 5х, а длина ги­по­те­ну­зы равна Зная, что ги­по­те­ну­за равна 13, на­хо­дим: По­сколь­ку про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе вы­со­та равна про­из­ве­де­нию ка­те­тов, де­лен­но­му на ги­по­те­ну­зу, имеем:

Ре­ше­ние. Ка­са­тель­ная па­рал­лель­на го­ри­зон­таль­ной пря­мой в точ­ках экс­тре­му­мов, таких точек на гра­фи­ке 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния a и бо­ко­вое ребро H фор­му­лой

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:6.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства

Тогда

Тем самым ис­ко­мая наи­боль­шая цена равна 9 тыс. руб.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния по­ез­дов равна: км/ч, что со­став­ля­ет м/с. За 45 се­кунд один поезд про­хо­дит мимо дру­го­го, то есть вме­сте по­ез­да пре­одо­ле­ва­ют рас­сто­я­ние, рав­ное сумме их длин:

Сле­до­ва­тель­но, длина ско­ро­го по­ез­да м.

Ответ: 700.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. а)  Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при то есть при Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен нулю:

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б)   При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, SH  — ее вы­со­та, M  — се­ре­ди­на BC. Про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мая AM. Но AM − вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что

б)  Пусть CK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка BSC. Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM = 4a. Тогда

За­ме­тим, что Зна­чит,

Так как CK вы­со­та тре­уголь­ни­ка SBC, а SAB рав­ный ему, то и Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть BD  =  x, тогда по усло­вию DC  =  4x.

По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ADB = ∠ADC  =  90°, зна­чит, точки В, С и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠C  =  60°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC  =  DC − BD  =  3x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми В и С, зна­чит, BC  =  DC + BD  =  5х.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ: или

Ре­ше­ние. Пусть x   — это про­цент, под ко­то­рый банк выдал кре­дит. Из усло­вия сле­ду­ет, что на 31 де­каб­ря 2015 года у Ва­ле­рия был долг тыс. руб., а затем он вы­пла­тил 660 тыс. руб. На остав­шу­ю­ся суммы был на­чис­лен про­цент, и перед вто­рым пла­те­жом долг со­став­лял Этот долг был по­га­шен пла­те­жом, рав­ным 484 тыс. руб.

Со­ста­вим урав­не­ние:

От­сю­да по­лу­ча­ем, что банк выдал кре­дит под 10% го­до­вых.

Ответ: 10%.

Ре­ше­ние. 1.  Функ­ция имеет вид:

a)  при

а ее гра­фик со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

б)  при

а её гра­фик пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

2.  Если при­над­ле­жит от­рез­ку то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках и Если   — то еще и в точке

3.  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда либо

Решим первую си­сте­му:

Решим вто­рую си­сте­му:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 6, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 6. По усло­вию по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 42 числа.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

от­ку­да

Так как по­лу­ча­ем:

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 15.

в)  (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз на­пи­са­но число 6, 25 раз на­пи­са­но число −12 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет веем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 42; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 15.