Фут­бол­ка сто­и­ла 650 руб­лей. После по­вы­ше­ния цены она стала сто­ить 780 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была по­вы­ше­на цена на фут­бол­ку?

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки цинка (в ты­ся­чах тонн) в 11 стра­нах мира за 2009 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке цинка за­ни­ма­ли США, один­на­дца­тое место  — Иран. Какое место за­ни­ма­ла Ка­на­да?

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2; 6).

Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­яв­ле­но 55 вы­ступ­ле­ний  — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 22 вы­ступ­ле­ния, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 4 и 12.

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния мень­ше 0.

Объем пер­во­го ци­лин­дра равен 12 м³. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в три раза боль­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния  — в два раза мень­ше, чем у пер­во­го. Най­ди­те объем вто­ро­го ци­лин­дра. Ответ дайте в ку­би­че­ских мет­рах.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка за­ви­сит от ча­сто­ты вы­нуж­да­ю­щей силы и опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле где   — ча­сто­та вы­нуж­да­ю­щей силы (в ),   — по­сто­ян­ный па­ра­метр,   — ре­зо­нанс­ная ча­сто­та. Най­ди­те мак­си­маль­ную ча­сто­ту мень­шую ре­зо­нанс­ной, для ко­то­рой ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний пре­вос­хо­дит ве­ли­чи­ну не более чем на Ответ вы­ра­зи­те в

По­ло­ви­ну вре­ме­ни, за­тра­чен­но­го на до­ро­гу, ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 74 км/⁠ч, а вто­рую по­ло­ви­ну вре­ме­ни  — со ско­ро­стью 66 км/⁠ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/⁠ч.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Ре­ши­те урав­не­ние

Длины ребер BC, BB₁ и BA пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равны со­от­вет­ствен­но 12, 4 и 3.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от вер­ши­ны до пря­мой боль­ше, чем рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D₁ до пря­мой A₁C.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D₁ до пря­мой A₁C.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N, причём M  — се­ре­ди­на AD, а BN : NC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 48.

В бас­сейн про­ве­де­ны три трубы. Пер­вая труба на­ли­ва­ет 30 м³ воды в час. Вто­рая труба на­ли­ва­ет в час на 3V м³ мень­ше, чем пер­вая (0 < V < 10), а тре­тья труба на­ли­ва­ет в час на 10V м³ боль­ше пер­вой. Сна­ча­ла пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют 30% бас­сей­на, а затем все три трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют остав­ши­е­ся 0,7 бас­сей­на. При каком зна­че­нии V бас­сейн быст­рее всего на­пол­нит­ся ука­зан­ным спо­со­бом?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при всех

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число очень счаст­ли­вым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си раз­лич­ны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. На­при­мер, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а)  Су­ще­ству­ют ли два­дцать по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзнач­ных чисел, среди ко­то­рых есть три очень счаст­ли­вых?

б)  Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел рав­нять­ся 2016?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа.