Ре­ше­ние. Най­дем, на сколь­ко по­вы­си­лась цена фут­бол­ки:

Най­дем, на сколь­ко про­цен­тов была по­вы­ше­на цена на фут­бол­ку:

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Рас­по­ло­жим стра­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния ко­ли­че­ства вы­плав­ки цинка в год:

1)  США

2)  Ка­на­да

3)  Индия

4)  Ка­зах­стан

5)  Бо­ли­вия

6)  Мек­си­ка

7)  Ир­лан­дия

8)  Рос­сия

9)  Шве­ция

10) Бра­зи­лия

11) Иран

Ка­на­да на­хо­дит­ся на вто­ром месте

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 6. Вы­со­та тра­пе­ции равна 10 − 2  =  8. По­это­му

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. На тре­тий день за­пла­ни­ро­ва­но вы­ступ­ле­ний. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля из Рос­сии ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на тре­тий день кон­кур­са, равна

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

По усло­вию абс­цис­са точки ка­са­ния от­ри­ца­тель­на, по­это­му от­ку­да b = 21.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Пусть объём пер­во­го ци­лин­дра равен объём вто­ро­го  — где R_{1, 2}  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ци­лин­дров, H_{1, 2}  — их вы­со­ты. По усло­вию Вы­ра­зим объём вто­ро­го ци­лин­дра через объём пер­во­го:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при из­вест­ном зна­че­нии ре­зо­нанс­ной ча­сто­ты и усло­вии, что ча­сто­та мень­ше ре­зо­нанс­ной:

Ответ: 120.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что 12,5%  — это 0,125. Если ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний A пре­вос­хо­дит ам­пли­ту­ду A₀ не более чем на 12,5%, то упро­стив пра­вую часть не­ра­вен­ства, по­лу­чим

Ре­ше­ние. Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Пусть ав­то­мо­биль на­хо­дил­ся в пути часов, тогда его сред­няя ско­рость равна:

Ответ: 70.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 50.

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ный ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую Так как то а, зна­чит, от­ре­зок ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка В то же время   — катет этого тре­уголь­ни­ка. По­это­му

б)  От­ре­зок D₁E  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­ку­да Далее на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда и не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Пе­рейдём к си­сте­ме не­ра­венств:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, тогда

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­несём 1 в левую часть, при­ведём вы­ра­же­ния к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, по­лу­чим не­ра­вен­ство

При­ме­ним обобщённый метод ин­тер­ва­лов. Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства задаётся усло­ви­ем от­ку­да Кор­нем зна­ме­на­те­ля яв­ля­ет­ся число 1. Найдём корни чис­ли­те­ля:

Вы­яс­ним знаки не­ра­вен­ства на про­ме­жут­ках (0; 1) и (1; +∞), взяв проб­ные точки.

Пусть тогда зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен, чис­ли­тель равен По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, по­это­му на про­ме­жут­ке (1; +∞) дробь от­ри­ца­тель­на.

Пусть тогда зна­ме­на­тель от­ри­ца­те­лен, чис­ли­тель равен

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, по­сколь­ку по­это­му на на про­ме­жут­ке (0; 1) дробь по­ло­жи­тель­на.

Нанесём об­ласть опре­де­ле­ния, най­ден­ные корни и знаки не­ра­вен­ства на чис­ло­вую пря­мую (см. рис.) и вы­пи­шем ответ: (1; +∞).

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

Рас­смот­рим два слу­чая.

1 слу­чай. При по­лу­ча­ем

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем

2 слу­чай. При по­лу­ча­ем

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем, что вто­рой слу­чай не даёт ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда AO и BM  — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABD, зна­чит,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA на­хо­дим, что

Зна­чит, Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что BP  =  PR  =  RM.

б)  Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MRA и BRC с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­ду­ет, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка BRC, про­ведённая к сто­ро­не BC, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к той же сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка BRC равна

Ана­ло­гич­но найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNP. Его вы­со­та, про­ведённая к BN, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC, сама сто­ро­на BN в че­ты­ре раза мень­ше сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма BC. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка PRCN равна

Ответ: 14.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Юлии Еро­хи­ной.

По усло­вию M  — се­ре­ди­на AD, BN : NC  =  1 : 3. Тогда, по­ла­гая BN  =  x, по­лу­ча­ем: NC  =  3x, AM  =  MD  =  2x. Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Тре­уголь­ник BRC по­до­бен тре­уголь­ни­ку ARM по двум углам (углы BRC и ARM равны как вер­ти­каль­ные, углы BCR и MAR равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей), сле­до­ва­тель­но, Пусть RM  =  y, тогда BR  =  2y, BM  =  3y.

Тре­уголь­ник BPN по­до­бен тре­уголь­ни­ку APM по двум углам (углы BPN и APM равны как вер­ти­каль­ные, углы BNP и MAP равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей), сле­до­ва­тель­но, Пусть BP  =  z, тогда PM  =  2z, BM  =  3z.

Таким об­ра­зом, 3y  =  3z, от­ку­да y  =  z, то есть BP  =  PR  =  RM.

Ре­ше­ние. При­мем объем бас­сей­на за 1. Пусть вна­ча­ле пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли бас­сей­на. Тогда время на­пол­не­ния бас­сей­на

Най­дем, при каком V по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние наи­мень­ше­го зна­че­ния. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, пе­ре­се­ка­ю­щая ось абс­цисс в точ­ках 20 и ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. Абс­цис­са вер­ши­ны этой па­ра­бо­лы равна Эта ве­ли­чи­на лежит в ин­тер­ва­ле (0; 10), а зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на на дан­ном ин­тер­ва­ле и до­сти­га­ет­ся при Оста­лось за­ме­тить, что наи­боль­шее зна­че­ние зна­ме­на­те­ля по­ло­жи­тель­но, по­это­му оно со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му зна­че­нию

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В общем слу­чае можно ис­сле­до­вать функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной. Не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 10). Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние ис­поль­зуя рав­но­силь­ность

Не­труд­но по­ка­зать, что это точка ми­ни­му­ма, в ко­то­рой функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть объем бас­сей­на равен A м³. Пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на. В ре­зуль­та­те бас­сейн был налит пол­но­стью.

Из­вест­но, что для любых двух по­ло­жи­тель­ных чисел t₁ и t₂ верно не­ра­вен­ство (не­ра­вен­ство Коши).

Рас­смот­рим про­из­ве­де­ние

Ясно, что зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби имеет наи­боль­шее зна­че­ние в точке А это зна­чит: имеет наи­мень­шее зна­че­ние в точке (зна­че­ние V при­над­ле­жит за­дан­но­му про­ме­жут­ку). Сле­до­ва­тель­но, вы­ра­же­ние также будет иметь ана­ло­гич­ное зна­че­ние в той же точке При этом

Итак, при по­лу­чим А это зна­чит, что в точке вы­ра­же­ние t₁ + t₂ также при­мет наи­мень­шее зна­че­ние.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку для всех зна­че­ний x, по­лу­ча­ем:

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

Для того, чтобы любое зна­че­ние x удо­вле­тво­ря­ло этой си­сте­ме не­ра­венств, нужно, чтобы каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы было вер­ным для лю­бо­го зна­че­ния x, то есть дис­кри­ми­нан­ты левых ча­стей этих не­ра­венств долж­ны быть от­ри­ца­тель­ны­ми:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся 5014, 5015, …, 5033. Очень счаст­ли­вы­ми среди них яв­ля­ют­ся числа 5014, 5023 и 5032.

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из этих двух очень счаст­ли­вых чисел, а   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них. Из усло­вия сле­ду­ет, что либо 10с + d + 16  =  10m + n, либо 10c + d + 16  =  100 + 10m + n. От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо (m + n) − (c + d)  =  9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d)  =  9(c − m − 10) + 6. Зна­чит, число (m + n) − (c + d) даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 7, или оста­ток 6.

Также из усло­вия сле­ду­ет, что либо 1000a + 100b + 2000  =  1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100  =  1000k + 100l.

От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо (k + l) − (a + b)  =  9(a − k + 2) + 2, либо (k + l) − (a + b)  =  9(a − k + 2) + 3. Зна­чит, число (k + l) − (a + b) даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 2, или оста­ток 3. При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, по­сколь­ку по усло­вию (k + l) − (a + b)  =  (m + n) − (c + d).

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­ме­ры очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 2, 3, 5 и 7: число 2680 крат­но 2 и 5; число 1890 крат­но 3 и 7.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-⁠либо очень счаст­ли­во­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число b − a + d − c крат­но 11. По­сколь­ку a , b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо b − a + d − c  =  0, либо b − a + d − c  =  11, либо b − a + d − c  =  −11.

В пер­вом слу­чае имеем a + b  =  c + d и a + c  =  b + d. Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем b − c  =  c − b, то есть b  =  c,  — про­ти­во­ре­чие. Во вто­ром слу­чае имеем a + b  =  c + d и a + c + 11  =  b + d. Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем b − c − 11  =  c − b, то есть 2(b − c)  =  11,  — тоже про­ти­во­ре­чие, по­сколь­ку 11 не крат­но 2. Ана­ло­гич­ное про­ти­во­ре­чие по­лу­ча­ет­ся и в тре­тьем слу­чае. Зна­чит, не су­ще­ству­ет очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  да, на­при­мер 5014, 5015, …, 5033; б)  нет; в)  11.