На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.
Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,
Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что
Значит, 
Из доказанного следует, что BP = PR = RM.
б) Пусть площадь параллелограмма равна S. Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом 
следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет 
высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна
Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN, составляет 
высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC, сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому
Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна
Ответ: 14.
Приведем решение пункта а) Юлии Ерохиной.
По условию M — середина AD, BN : NC = 1 : 3. Тогда, полагая BN = x, получаем: NC = 3x, AM = MD = 2x. Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.
Треугольник BRC подобен треугольнику ARM по двум углам (углы BRC и ARM равны как вертикальные, углы BCR и MAR равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно,
Пусть RM = y, тогда BR = 2y, BM = 3y.
Треугольник BPN подобен треугольнику APM по двум углам (углы BPN и APM равны как вертикальные, углы BNP и MAP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно,
Пусть BP = z, тогда PM = 2z, BM = 3z.
Таким образом, 3y = 3z, откуда y = z, то есть BP = PR = RM.