ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 514891 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений дробь: числитель: 9 левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс 4y в квадрате плюс 12 левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 минус 2y минус 3x конец аргумента конец дроби =0, дробь: числитель: 2y плюс 1, знаменатель: 3x плюс 1 конец дроби =a конец системы .$

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену переменных: $u=3x плюс 1,$ $v =2y плюс 1.$ Ясно, что количество решений от этого не изменится  — по каждой паре x и y однозначно строится пара u и $v$ и наоборот. Уравнения примут вид $левая круглая скобка u минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка v плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =4;$ $3 минус u минус v больше 0,$ $v =au$ (если $u=0,$ то и $v =0,$ а такая точка не подходит в первое уравнение). Первое уравнение задаёт окружность с центром $левая круглая скобка 3; минус 2 правая круглая скобка$ и радиусом $2.$ Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость относительно прямой $u плюс v =3,$ которая пересекает окружность в точках $левая круглая скобка 3; 0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 5; минус 2 правая круглая скобка$ (можно проверить подстановкой). Наконец, последнее уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат (см. рис.).

Выясним, при каком a эта прямая касается окружности. Для этого расстояние от точки $левая круглая скобка 3; минус 2 правая круглая скобка$ до этой прямой должно быть равно 2. То есть $дробь: числитель: \abs3a плюс 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс 1 конец аргумента конец дроби =2.$ Отсюда:

$9a в квадрате плюс 12a плюс 4=4a в квадрате плюс 4 равносильно 5a в квадрате плюс 12a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a= минус 2,4. конец совокупности .$

При $a меньше минус 2,4$ прямая не пересекает окружность. При $a= минус 2,4$ есть одна общая точка. При $минус 2,4 меньше a меньше минус 0,4$ есть две общие точки. При $a= минус 0,4$ есть одна общая точка (вторая выколота). При $минус 0,4 меньше a меньше 0$ есть одна общая точка (вторая не в той полуплоскости). При $a больше или равно 0$ общих точек нет.

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус 2,4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 0,4; 0 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 164

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь