СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 514891

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Решение.

Сделаем замену переменных: Ясно, что количество решений от этого не изменится — по каждой паре и однозначно строится пара и и наоборот. Уравнения примут вид (если то и а такая точка не подходит в первое уравнение). Первое уравнение задаёт окружность с центром и радиусом Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость относительно прямой которая пересекает окружность в точках и (можно проверить подстановкой). Наконец, последнее уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат (см. рис.).

Выясним, при каком a эта прямая касается окружности. Для этого расстояние от точки до этой прямой должно быть равно 2. То есть Отсюда:

При прямая не пересекает окружность. При есть одна общая точка. При есть две общие точки. При есть одна общая точка (вторая выколота). При есть одна общая точка (вторая не в той полуплоскости). При общих точек нет.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 164.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с параметром