Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 514891

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений дробь, числитель — 9(x в степени 2 плюс 1) плюс 4y в степени 2 плюс 12(y минус x), знаменатель — корень из { 1 минус 2y минус 3x }=0, дробь, числитель — 2y плюс 1, знаменатель — 3x плюс 1 =a конец системы .

имеет ровно одно решение.

Решение.

Сделаем замену переменных: u=3x плюс 1, v=2y плюс 1. Ясно, что количество решений от этого не изменится — по каждой паре x и y однозначно строится пара u и v и наоборот. Уравнения примут вид (u минус 3) в степени 2 плюс (v плюс 2) в степени 2 =4; 3 минус u минус v больше 0, v=au (если u=0, то и v=0, а такая точка не подходит в первое уравнение). Первое уравнение задаёт окружность с центром (3; минус 2) и радиусом 2. Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость относительно прямой u плюс v=3, которая пересекает окружность в точках (3; 0) и (5; минус 2) (можно проверить подстановкой). Наконец, последнее уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат (см. рис.).

Выясним, при каком a эта прямая касается окружности. Для этого расстояние от точки (3; минус 2) до этой прямой должно быть равно 2. То есть  дробь, числитель — \abs{3a плюс 2}, знаменатель — корень из { a в степени 2 плюс 1 }=2. Отсюда:

9a в степени 2 плюс 12a плюс 4=4a в степени 2 плюс 4 равносильно 5a в степени 2 плюс 12a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a= минус 2,4. конец совокупности .

При a меньше минус 2,4 прямая не пересекает окружность. При a= минус 2,4 есть одна общая точка. При  минус 2,4 меньше a меньше минус 0,4 есть две общие точки. При a= минус 0,4 есть одна общая точка (вторая выколота). При  минус 0,4 меньше a меньше 0 есть одна общая точка (вторая не в той полуплоскости). При a больше или равно 0 общих точек нет.

 

Ответ: a принадлежит \{ минус 2,4\}\cup [ минус 0,4; 0).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 164.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с параметром