PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 514886 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Введение замены
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Обозначим
тогда:
Тем самым,
б) Корни отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим: 
Ответ а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
514886
а) б)
б) 
Пусть это 
тогда (подставляя все три точки) находим:
можно взять 
и 
тогда первое уравнение тоже выполнится. Итак, уравнение плоскости 
нормаль к плоскости 
Вектор MD имеет координаты 
поэтому он коллинеарен нормали, что и требовалось доказать.
или 
и 
точки касания с внешней касательной K и N соответственно, точки касания с внутренними — за L, 
M, 
точку пересечения внутренних касательных и линии центров за 
(см. рис.). Очевидно, 
— прямоугольная трапеция. Опустим из середины 
перпендикуляр на KN — это будет средняя линия, поэтому для отрезка KN это будет серединный перпендикуляр. Осталось доказать, что 
тогда и для отрезка AB это будет серединный перпендикуляр. 
(по два отрезка из точки T). Тогда: 
откуда 
находим 
Тогда, по теореме Пифагора, 
аналогично, 
Тогда 
Но: 
минут дольше третьего. А после этого момента он работал на 
минут дольше третьего, чтобы сравняться с ним по числу выпущенных деталей. Следовательно, число деталей, выпущенных станками до и после этого момента, относятся как 
Поскольку третий отыграл у второго фору 
минут до этого момента. После этого момента он обгонит второй на 
минут.
Ясно, что количество решений от этого не изменится — по каждой паре x и y однозначно строится пара u и 
и наоборот. Уравнения примут вид 
(если 
то и 
а такая точка не подходит в первое уравнение). Первое уравнение задаёт окружность с центром 
и радиусом 
Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость относительно прямой 
которая пересекает окружность в точках 
и 
(можно проверить подстановкой). Наконец, последнее уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат (см. рис.).
до этой прямой должно быть равно 2. То есть 
Отсюда:
прямая не пересекает окружность. При 
есть одна общая точка. При 
есть две общие точки. При 
есть одна общая точка (вторая выколота). При 
есть одна общая точка (вторая не в той полуплоскости). При 
общих точек нет.
(где 
):
