PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 514879 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения
Методы алгебры: Введение замены
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Обозначим 
и выполним преобразования:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем: 
или 
Уравнение 
решений не имеет.
б) Поскольку 
только 
лежит на нужном промежутке.
Ответ а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
514879
а) б)
б) Классификатор алгебры: Показательные уравнения
Методы алгебры: Введение замены
и 
Поскольку 
а 
треугольник 
— прямоугольный с углом 
поэтому
Тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
откуда 
Отсюда следует утверждение задачи.
точку N так, чтобы 
Тогда по аналогичным причинам эта точка тоже лежит в сечении, а само сечение — пятиугольник 
Тогда объем всей призмы равен 
Вычислим теперь объем верхней ее части — 
Обозначим за K середину 
Отметим сразу, что перпендикуляр к плоскости сечения, проведенный из 
падает на BK (поскольку плоскость 
перпендикулярна плоскости сечения).
и отношение объемов составит 
Неравенство примет вид 
Преобразуем его:
(введем новую единицу длины) и центр в начале координат, а диагонали четырехугольника параллельны координатным осям. Тогда обозначим координаты вершин так — 
Имеем:
поэтому 
и радиус окружности равен 
По теореме Птолемея: 
на второй. Тогда суммарная зарплата составит 
тысяч рублей.
Очевидно, 
рублей, распределить на 23 чел. и 17 чел.
имеет наибольшее количество решений на отрезке 
Чему равно это количество?
и обозначим 
Получим:
имеет на промежутке вида 
одно решение при 
два решения при 
и ни одного решения при прочих 
Поэтому даже на промежутке 
уравнение может иметь максимум 8 решений: два несовпадающих корня, дающих по 2 решения и на 
и на 
Восемь решений возможны и в нашем случае. Для этого необходимо, чтобы на промежутке 
решений не было. Тогда 
корни совпадают. Тогда 
Перебирая возможные x и y, находим 4 ответа: 
дает остатки 0, 2, 4, 1. А 
при делении на 7 дает остатки 0, 5, 3, 6. Значит, их разность кратна 7 только тогда, когда они оба кратны 7. Но тогда 
кратно 49. Поэтому уравнение не имеет решений.
Отсюда видно, что либо 
либо y — четное число. Следовательно, 
б) нет решений; в) 
при всех целых