ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 514884 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $2 косинус 2x плюс 2a синус x плюс a минус 1=0$ имеет наибольшее количество решений на отрезке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$ Чему равно это количество?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $косинус 2x=1 минус 2 синус в квадрате x$ и обозначим $синус x=t.$ Получим:

$2 левая круглая скобка 1 минус 2t в квадрате правая круглая скобка плюс 2at плюс a минус 1=0 равносильно 4t в квадрате минус 2at минус a минус 1=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 минус a правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t= дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Уравнение $синус x=t$ имеет на промежутке вида $левая квадратная скобка b; b плюс 2 Пи правая круглая скобка$ одно решение при $t=\pm 1,$ два решения при $минус 1 меньше t меньше 1$ и ни одного решения при прочих $t.$ Поэтому даже на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; 3 Пи правая круглая скобка$ уравнение может иметь максимум 8 решений: два несовпадающих корня, дающих по 2 решения и на $левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая круглая скобка$ и на $левая квадратная скобка Пи ; 3 Пи правая круглая скобка .$ Восемь решений возможны и в нашем случае. Для этого необходимо, чтобы на промежутке $левая круглая скобка дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби Пи ; 3 Пи правая круглая скобка$ решений не было. Тогда $t принадлежит левая круглая скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Итак, оба корня уравнения должны попасть в это множество и не совпасть. Первый корень непременно попадет в это множество. При $a= минус 2$ корни совпадают. Тогда $a принадлежит левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 163

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь