ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 514885 Добавить в вариант

Решите в целых числах уравнение:

а)   $2x в квадрате плюс 5y в квадрате =7;$

б)   $2x в квадрате минус 5y в квадрате = 7;$

в)   $2x в квадрате плюс 5y в квадрате = 7xy.$

Спрятать решение

Решение.

а)  Ясно, что $|x|, |y| меньше или равно 1.$ Перебирая возможные x и y, находим 4 ответа: $левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка .$

б)  Рассмотрим остатки от деления чисел и их квадратов на 7. Квадрат числа при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2, 4. Поэтому $2x в квадрате$ дает остатки 0, 2, 4, 1. А $5y в квадрате$ при делении на 7 дает остатки 0, 5, 3, 6. Значит, их разность кратна 7 только тогда, когда они оба кратны 7. Но тогда $2x в квадрате минус 5y в квадрате$ кратно 49. Поэтому уравнение не имеет решений.

в)  Перепишем уравнение в виде $левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5y правая круглая скобка =0.$ Отсюда видно, что либо $x=y,$ либо y  — четное число. Следовательно, $y=2t,$ $x=5t.$

Ответ: а) $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка ;$ б) нет решений; в) $левая круглая скобка t; t правая круглая скобка , левая круглая скобка 5t; 2t правая круглая скобка$ при всех целых $t.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 163

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь