Ре­ше­ние. а)  Сде­ла­ем за­ме­ну урав­не­ние при­мет вид от­ку­да или Урав­не­ние дает Урав­не­ние дает и кор­ней не имеет.

б)  Оче­вид­но   — по­ло­жи­тель­ное число, при этом До­ка­жем это. Воз­ве­дем в ше­стую сте­пень:

Про­ве­рим вто­рой ко­рень: он не лежит на за­дан­ном от­рез­ке.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми вдоль ребер AB, AD, Тогда не­труд­но найти ко­ор­ди­на­ты точек

а)  Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти Пусть это тогда, под­став­ляя все три точки, на­хо­дим: Возь­мем Тогда и урав­не­ние плос­ко­сти Ее век­тор нор­ма­ли а ко­ор­ди­на­ты век­то­ра это По­это­му их ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно они пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и пря­мая па­рал­лель­на плос­ко­сти.

б)   Пусть   — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти с реб­ром Под­став­ляя в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­ча­ем: Се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник Его про­ек­ция на плос­кость ABCD  — че­ты­рех­уголь­ник PADC, пло­щадь ко­то­ро­го равна Ко­си­нус угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен:

Зна­чит, по тео­ре­ме о пло­ща­ди про­ек­ции фи­гу­ры.

Ответ: б)

Ком­мен­та­рий. Оче­вид­но, KMCP  — тра­пе­ция (пря­мая MC па­рал­лель­на пря­мой KP как пря­мые пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти с па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми), все сто­ро­ны ко­то­рой можно вы­чис­лить, а зная сто­ро­ны тра­пе­ции можно найти ее пло­щадь. Но по­сколь­ку вся под­го­то­ви­тель­ная ра­бо­та уже про­де­ла­на в пунк­те а)  — глупо было бы им не поль­зо­вать­ся. Найти точку K сто­и­ло  — без нее мы не были уве­ре­ны в форме се­че­ния.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим Не­ра­вен­ство при­мет вид Пре­об­ра­зу­ем его:

От­сю­да То есть Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем пря­мую CE па­рал­лель­но BD. Тогда BCED  — па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит, то есть тре­уголь­ник ACE рав­но­бед­рен­ный. При этом его вы­со­та равна по­ло­ви­не ос­но­ва­ния, по­сколь­ку Зна­чит, она делит его на два рав­но­бед­рен­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, то есть AC пер­пен­ди­ку­ляр­на CE. Тогда и AC пер­пен­ди­ку­ляр­на BD.

б)  Про­длим AB и CD до пе­ре­се­че­ния в точке Тогда тре­уголь­ни­ки BTC и ATD по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит, и их вы­со­ты от­ли­ча­ют­ся в пол­то­ра раза, но раз­ни­ца между ними равна вы­со­те тра­пе­ции, то есть Зна­чит, вы­со­та BTC равна Для тре­уголь­ни­ка BTC ука­зан­ная окруж­ность яв­ля­ет­ся внев­пи­сан­ной, по­это­му ее ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле По­лу­ча­ем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Если год рож­де­ния на­чи­на­ет­ся с цифр 20, то по­сколь­ку одна из по­след­них цифр тоже равна нулю, что не­воз­мож­но. Зна­чит, он на­чи­на­ет­ся с цифр 19. Обо­зна­чим осталь­ные за a и Тогда воз­раст равен По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Учи­ты­вая, что воз­мож­ны ва­ри­ан­ты или То есть год рож­де­ния 1966 или 1974, по­это­му воз­раст в 2017 году будет равен 51 или 43 года.

На­чи­нать­ся с цифр 18 и ранее он не может, по­сколь­ку тогда воз­раст будет не боль­ше а дол­жен быть не мень­ше

Ответ: 43 или 51.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чая по­лу­чим урав­не­ние Оно рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли и имеет корни и

Функ­ция убы­ва­ет из при по­сто­ян­на и равна при и не­огра­ни­чен­но воз­рас­та­ет при По­это­му она при­ни­ма­ет зна­че­ние 2 бес­ко­неч­но много раз, а зна­че­ния боль­шие 2  — ровно по 2 раза. По­это­му не менее трех раз­лич­ных кор­ней воз­мож­но в сле­ду­ю­щих слу­ча­ях:

1.  один из кор­ней сов­па­да­ет с чис­лом 2;

2.  корни раз­лич­ны и оба боль­ше 2.

Пер­вый слу­чай воз­мо­жен при или Для вто­ро­го слу­чая нужно, чтобы и

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим сразу, что По­это­му с воз­рас­та­ни­ем n эти дроби воз­рас­та­ют.

а)  Да, на­при­мер

б)  Нет, даже две самые ма­лень­кие дроби дают сумму а любая одна дробь мень­ше 1.

в)  По­сколь­ку все дроби мень­ше 1, то сумма даже де­ся­ти таких дро­бей будет мень­ше 10. C дру­гой сто­ро­ны, можно вы­брать 11 дро­бей так, чтобы в них вы­пол­ня­лось Тогда их сумма будет от­ли­чать­ся от 11 на сумму один­на­дца­ти дро­бей, каж­дая из ко­то­рых мень­ше 0,01, зна­чит, будет боль­ше 10.

Ответ: а) да; б) нет; в) 11.