ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 514877 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет не менее трёх различных корней.

Спрятать решение

Решение.

Обозначая $t=|x минус 2| плюс |x|,$ получим уравнение $2t в квадрате минус 3 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка t плюс a в квадрате минус 3a=0.$ Оно раскладывается на множители $левая круглая скобка 2t минус a правая круглая скобка левая круглая скобка t минус a плюс 3 правая круглая скобка =0$ и имеет корни $t= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ и $t=a минус 3.$

Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x минус 2| плюс |x|$ убывает из $минус бесконечность$ при $x меньше 0,$ постоянна и равна $2$ при $x принадлежит левая квадратная скобка 0;2 правая квадратная скобка$ и неограниченно возрастает при $x больше 2.$ Поэтому она принимает значение 2 бесконечно много раз, а значения большие 2  — ровно по 2 раза. Поэтому не менее трех различных корней возможно в следующих случаях:

1.  один из корней совпадает с числом 2;

2.  корни различны и оба больше 2.

Первый случай возможен при $a=4$ или $a=5.$ Для второго случая нужно, чтобы $a больше 5$ и $a не равно 6.$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 5; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 162

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь