РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 11804477

А. Ларин: Тренировочный вариант № 161.

Дано уравнение $2 косинус x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 косинус x конец аргумента плюс 2 = 0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка M так, что SM : MС  =  7 : 18.

а)  Докажите, что плоскости SBC и ABM перпендикулярны.

б)  Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость ABM.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите неравенство $дробь: числитель: x в квадрате минус x плюс 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате минус 3x минус 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби меньше или равно 2x плюс 2.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а)  Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б)  Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB  =  5, BC  =  6, CA  =  4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

1 августа 2016 года Валерий открыл в банке счёт «Пополняй» на четыре года под 10% годовых, вложив 100 тысяч рублей. 1 августа 2017 и 1 августа 2019 года он планирует докладывать на счёт по n тысяч рублей. Найдите наименьшее целое n, при котором к 1 августа 2020 года на счету y Валерия окажется не менее 200 тысяч рублей.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Найдите все a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 2a в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка a минус x в квадрате плюс 3x, знаменатель: x в квадрате минус 9 конец дроби =0$

имеет ровно один корень.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Можно ли n попарно различных натуральных чисел расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если:

а)  n  =  3;

б)  n  =  4;

в)  n  =  5?

Решение. Будем подбирать числа так, чтобы их суммы были квадратами четных чисел, не очень отличающихся по величине. В пункте б) еще учтем, что сумма двух из этих квадратов должна быть равна сумме двух других.

а)  Решая систему $a плюс b=64,$ $b плюс c=100,$ $c плюс a=144,$ находим пример: 54, 10, 90.

б)  Решая систему $a плюс b=256,$ $b плюс c=196,$ $c плюс d=4,$ $d плюс a=64$ (последнее уравнение является следствием остальных, но это неважно), выберем $c=3,$ $d=1.$ Тогда $a=63,$ $b=193.$ Получили пример: 63, 193, 3, 1.

в)  Решая систему $a плюс b=400,$ $b плюс c=144,$ $c плюс d=196,$ $d плюс e=256,$ $e плюс a=324,$ находим $a=260,$ $b=140,$ $c=4,$ $d=192,$ $e=64.$

Ответ: а) да; б) да; в) да.

Комментарий. При ответе «это возможно» мы не обязаны объяснять, как придуман пример. Тем не менее мы постарались объяснить, как такой пример можно придумать. Для решения этой системы проще всего сложить все уравнения, разделить пополам и получить сумму всех чисел. После чего, вычитая из нее какие-либо уравнения, можно найти отдельные неизвестные. Но для этого нужно, чтобы сумма была четной (возьмем все слагаемые четными) и чтобы после деления на 2 она не оказалась слишком маленькой (возьмем все слагаемые примерно одинаковыми). Есть примеры с гораздо меньшими числами. Например, в пункт а годятся 5, 20, 44.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514865	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$
2	514866	б) $дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента .$
3	514867	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$
4	514868	$дробь: числитель: 45, знаменатель: 16 конец дроби .$
5	514869	$n=23.$
6	514870	$a= минус 3$ или $a=0$ или $a=1.$
7	514871	а) да; б) да; в) да.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 161.

Ключ