ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 514870 Добавить в вариант

Найдите все a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 2a в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка a минус x в квадрате плюс 3x, знаменатель: x в квадрате минус 9 конец дроби =0$

имеет ровно один корень.

Спрятать решение

Решение.

Для того, чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель был отличен от нуля. Корни знаменателя равны 3 и −3. Найдем корни числителя:

$x в квадрате минус 3x плюс ax плюс 3a минус 2a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2a минус 3 правая круглая скобка =0.$

Итак, корни числителя равны a и $минус 2a плюс 3.$

Уравнение может иметь один корень либо когда эти два корня совпадают (но не совпадают с корнем знаменателя), либо когда один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя.

Корни числителя совпадают при $a= минус 2a плюс 3,$ то есть $a=1.$ При этом корень равен 1 и не совпадает с корнями знаменателя.

Корни числителя совпадают с корнями знаменателя в следующих случаях:

если $a= минус 3,$ тогда $минус 2a плюс 3=9$ и уравнение имеет единственный корень $x=9.$

если $минус 2a плюс 3= минус 3,$ тогда $a=3,$ и уравнение корней не имеет.

если $a=3$   — совпадает с вариантом $минус 2a плюс 3= минус 3,$ уравнение корней не имеет.

если $минус 3a плюс 3=3,$ тогда $a=0,$ и уравнение имеет единственный корень $x=0.$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при значениях a, равных −3, 0, 1.

Ответ: $a= минус 3$ или $a=0$ или $a=1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 161

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь