Ре­ше­ние. После по­ни­же­ния цены на 0,1 · 40  =  4 руб., цена тет­ра­ди со­ста­вит 36 руб. По­это­му на 750 руб. можно будет ку­пить

тет­ра­дей т. е. 20 целых тет­ра­дей.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Сред­ний балл участ­ни­ков из Бол­га­рии ука­зы­ва­ет пятый стол­бец диа­грам­мы. Он равен 465.

Ответ: 465.

Ре­ше­ние. До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка OBA, OB=BA. BK делит ос­но­ва­ние OA по­по­лам, зна­чит, BK  — вы­со­та. Из ри­сун­ка на­хо­дим

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить и до­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. В сред­нем не­ис­прав­ны 6 из каж­дых 2006 на­со­сов, по­это­му ве­ро­ят­ность слу­чай­но вы­брать не­ис­прав­ный насос равна

Ответ: 0,003.

----------

Ис­клю­че­на из От­кры­то­го банка.

Ре­ше­ние. Если две дроби с рав­ным чис­ли­те­лем равны, то равны их зна­ме­на­те­ли. Имеем:

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. Пусть мень­шая из диа­го­на­лей равна a, тогда боль­шая равна 3a. Сле­до­ва­тель­но,

По­это­му

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней, она имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент рав­ный 2 и Оста­лось найти, при каких x про­из­вод­ная при­ни­ма­ет зна­че­ние 2. Ис­ко­мая точка

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со

сто­ро­на­ми 3, 2, 5 и 1, 3, 3:

Ответ: 39.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров мг и мин:

Таким об­ра­зом, масса ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па будет не мень­ше 47 мг в те­че­ние 6 минут.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть про­из­во­ди­тель­ность каж­до­го из ра­бо­чих равна за­ка­за в день, и пусть в новом со­ста­ве бри­га­ды до­де­лы­ва­ли за­ка­зы y дней. Тогда за пер­вые 7 дней ра­бо­ты бри­га­да­ми в 16 и 25 че­ло­век было сде­ла­но и ча­стей за­ка­зов, а за сле­ду­ю­щие y дней бри­га­да­ми в 24 че­ло­ве­ка и 17 че­ло­век были до­де­ла­ны остав­ши­е­ся и ча­стей за­ка­зов. По­сколь­ку в ре­зуль­та­те были це­ли­ком вы­пол­не­ны два за­ка­за, имеем:

Зна­чит, в новом со­ста­ве бри­га­ды ра­бо­та­ли 9 дней. Таким об­ра­зом, по­тре­бо­ва­лось 7 + 9 = 16 дней на вы­пол­не­ние за­ка­зов.

Ответ: 16.

При­ве­дем ре­ше­ние Алисы Грант.

Пусть k за­ка­зов в день  — про­из­во­ди­тель­ность каж­до­го из ра­бо­чих (0 < k < 1), и пусть в новом со­ста­ве бри­га­ды до­де­лы­ва­ли за­ка­зы x дней. В сумме до и после пе­ре­хо­да ра­бо­чих каж­дая из бри­гад вы­пол­ни­ла всю ра­бо­ту, по­это­му

Зна­чит, в новом со­ста­ве бри­га­ды ра­бо­та­ли 9 дней, а на всего на вы­пол­не­ние за­ка­зов по­на­до­би­лось 7 + 9  =  16 дней.

При­ве­дем ре­ше­ние Павла Юк­ля­е­ва.

Из­на­чаль­но тру­до­за­тра­ты вто­рой бри­га­ды на (25 − 16) · 7  =  63 че­ло­ве­ко-дня боль­ше, чем тру­до­за­тра­ты пер­вой бри­га­ды. По­это­му после того, как в первую бри­га­ду пе­ре­шли ра­бо­чие из вто­рой, пер­вой бри­га­де при­дет­ся вы­пол­нить на 63 че­ло­ве­ко-дня боль­ше ра­бо­ты, чем вто­рой за то же время. Пусть x  — ко­ли­че­ство дней ра­бо­ты после пе­ре­хо­да ра­бо­чих, тогда 24 че­ло­ве­ко-дня ра­бо­ты пер­вой бри­га­ды пре­вос­хо­дят 17 че­ло­ве­ко-дней ра­бо­ты вто­рой бри­га­ды на 63 че­ло­ве­ко-дня: 24х  =  17х + 63, от­ку­да x  =  9. Сле­до­ва­тель­но, на вы­пол­не­ние ра­бо­ты всей ра­бо­ты не­об­хо­ди­мо 16 дней.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: −55.

Ре­ше­ние. a)  Решим урав­не­ние

Решим урав­не­ние

Из най­ден­ных ре­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко и

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

По­лу­чим число:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, SH  — ее вы­со­та, M  — се­ре­ди­на BC. Про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мая AM. Но AM − вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что

б)  Пусть CK  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BSC, а AK  — рав­но­го ему тре­уголь­ни­ка ASB. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый угол AKC. Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM = 6a. тогда

За­ме­тим, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC может быть вы­чис­ле­на двумя спо­со­ба­ми: Зна­чит,

Те­перь мы можем найти ис­ко­мый угол AKC при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му не­ра­вен­ство можно умно­жить на не меняя его знака, от­ку­да имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть угол BAC  =  α. Углы BAC и KHB равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM: в нем ∠BKH + ∠BMH  =  90° + 90°  =  180°, сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KMB  — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б)  Сумма углов К и М че­ты­рех­уголь­ни­ка BKHM равна 180°, по­это­му он впи­сан в окруж­ность. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKH впи­сан в эту же окруж­ность, а по­то­му ра­ди­ус R окруж­но­сти равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы BH: R  =  1. Тре­уголь­ник MBK также впи­сан в эту окруж­ность. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и MBK равен от­но­ше­нию их сход­ствен­ных эле­мен­тов, по­это­му он равен Тогда для от­но­ше­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что ∠KHB = ∠BAC, по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK  — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После четвёртой вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

При S = 6 902 000 и a = 12,5, по­лу­ча­ем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

--------------------------------------

дуб­ли­ру­ет №507212

Ре­ше­ние.

Так как зна­ме­на­тель ис­ход­ной дроби имеет корни a и Если числа 3, a и  по­пар­но раз­лич­ны, то ис­ко­мое

1.   Если или то мно­же­ством ре­ше­ний дан­но­го не­ра­вен­ства также яв­ля­ет­ся не луч, а объ­еди­не­ние двух про­ме­жут­ков: (см. рис. 1).

2.   Если то так как, со­глас­но усло­вию

В этом слу­чае мно­же­ством ре­ше­ний дан­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся луч (см. рис. 2).

Ответ:

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что Тогда

Зна­чит, Найдём зна­че­ние

Ответ: 5.