ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 511109 Добавить в вариант

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая  — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − x. После второй выплаты сумма долга составит

$S_2=S_1b минус x= левая круглая скобка Sb минус x правая круглая скобка b минус x=Sb в квадрате минус левая круглая скобка 1 плюс b правая круглая скобка x.$

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

$S_3=Sb в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс b плюс b в квадрате правая круглая скобка x=Sb в кубе минус дробь: числитель: b в кубе минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби умножить на x.$

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

$S_4=Sb в степени 4 минус левая круглая скобка 1 плюс b плюс b в квадрате плюс b в кубе правая круглая скобка x=Sb в степени 4 минус дробь: числитель: b в степени 4 минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби умножить на x.$

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

$Sb в степени 4 минус дробь: числитель: b в степени 4 минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби умножить на x=0,$ откуда $x= дробь: числитель: Sb в степени 4 левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени 4 минус 1 конец дроби .$

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

$x= дробь: числитель: 6902000 умножить на 1,601806640625 умножить на 0,125, знаменатель: 0,601806640625 конец дроби = 2296350 левая круглая скобка рублей правая круглая скобка .$

Ответ: 2 296 350.

--------------------------------------

дублирует №507212

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 507212: 507280 508301 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Егор Короткий 10.05.2016 21:36

Выражение для х очень сложное. Счёт упростится, если b записать обыкновенной дробью 9/8. После преобразований получаем: $x= дробь: числитель: 6902000 умножить на 9 в степени 4 , знаменатель: левая круглая скобка 9 в степени 4 минус 8 в степени 4 правая круглая скобка умножить на 8 конец дроби$ . Далее: $9 в степени 4 минус 8 в степени 4 = 81 в квадрате минус 64 в квадрате =17 умножить на 145$ . Делим 6 902 000 на 8, 17 и на 145, получаем 350, умножаем 350 на 81 и на 81, находим ответ.