РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 11589144

А. Ларин: Тренировочный вариант № 158.

Дано уравнение $2 корень из 3 синус в квадрате x плюс синус 2x минус корень из 3 =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;6 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре DD₁ отмечена точка O так, что $DO=2 умножить на D_1O.$

а)  Докажите, что объём данной призмы в 4,5 раза больше, чем объём пирамиды OABB₁A₁.

б)  Найдите площадь боковой поверхности пирамиды OABB₁A₁, если известно, что AB  =  1, DD₁=3.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2x в квадрате минус x.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁.

а)  Докажите, что угол между биссектрисами AA₁ и BB₁ равен $90 градусов минус дробь: числитель: \angle ACB, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Найдите площадь четырёхугольника ABA₁B₁, если известно, что AC  =  4, AB  =  5, BC  =  6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Валерий планирует вложить 1 млн. рублей в сберегательный сертификат. Банк предлагает клиентам сберегательные сертификаты трёх видов (при минимальной сумме вклада 1 млн. рублей):

1-й: сроком на 3 года и увеличением вклада на 40%;

2-й: сроком на 2 года и увеличением вклада на 25%;

3-й: сроком на 1 год и увеличением вклада на 10%.

Если клиент закрывает вклад по сберегательному сертификату раньше установленного срока, то проценты по вкладу не начисляются.

Какая наибольшая сумма может оказаться у Валерия через 4 года после обналичивания сертификата? (Предполагается, что за это время процентные ставки по сертификатам меняться не будут).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Найдите все a, при каждом из которых система

$система выражений 3x в квадрате плюс 3y в квадрате минус 10xy минус 12x плюс 12y плюс 9\leqslant0,6 минус 3x=ax в квадрате ,y минус 3=ax конец системы .$

имеет единственное решение.

Решение. Умножая последнее уравнение на $минус x$ и складывая его со вторым, получим $xy=6.$ С учетом этого первое неравенство можно переписать в виде $x в квадрате плюс y в квадрате минус 4x плюс 4y минус 17 меньше или равно 0$ или $левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 25.$

Отметим на координатной плоскости точки, удовлетворяющие этим условиям. Это точки гиперболы $xy=6,$ лежащие в круге радиуса 5 с центром в точке $левая круглая скобка 2, минус 2 правая круглая скобка .$ Нарисовав этот круг и гиперболу, мы увидим, что они имеют 4 точки пересечения $левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 6;1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 6 правая круглая скобка$ (координаты легко угадываются).

Уравнение $y=ax плюс 3$ задает прямую, проходящую через точку $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка$ с переменным угловым коэффициентом. Эта прямая проходит через точки пересечения окружности и гиперболы при $a=0,$ $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $a=9$ соответственно.

Найдём при каких значениях a прямая $y=ax плюс 3$ касается гиперболы.

$дробь: числитель: 6, знаменатель: x конец дроби =ax плюс 3 равносильно ax в квадрате плюс 3x минус 6=0$   Случай касания соответствует дискриминанту равному нулю: $D=9 плюс 24a=0,$ $a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Прямая $y=ax плюс 3$ пересекает дуги гиперболы, лежащие в круге, при $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка ,$ но при $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка$ точек пересечения будет две, что не подходит.

Единственность точки пересечения со второй ветвью гиперболы очевидна из картинки.

Таким образом, система имеет единственное решение при $a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

а)  Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы?

б)  Можно ли правильный пятиугольник разрезать на трапеции?

в)  Найдите наименьшее нечётное n, для которого существует n-угольник, который можно разрезать на параллелограммы.

Решение. а)  Рассмотрим произвольный параллелограмм, примыкающий к стороне пятиугольника. Противоположная его сторона параллельна стороне пятиугольника и покрыта сторонами других параллелограммов. Выберем один из них. Его противоположная сторона параллельна стороне пятиугольника и так далее. В итоге мы построим цепочку параллелограммов, которая никогда не закончится  — она не может выйти снова на границу пятиугольника, поскольку у него нет параллельных сторон.

б)  Да, это возможно. Проведем через центр O пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ прямые, параллельные его сторонам. Они пересекут по две стороны пятиугольника каждая. Оставим из этих точек пересечения по одной на каждой стороне  — на $A_1A_2$ ближайшую к $A_1$ (пусть это $B_1$ ), на $A_2A_3$ ближайшую к $A_2$ (пусть это $B_2$ ) и так далее. Тогда $OB_1A_1B_5, OB_2A_2B_1,\ldots$   — пять трапеций, покрывающие без пересечений пятиугольник.

в)  Как следует из решения пункта а), у такого многоугольника для каждой стороны должна найтись параллельная ей. Очевидно, это невозможно для треугольника. Для пятиугольника тоже  — все стороны не могут разбиваться на пары параллельных, значит, есть три параллельные стороны, но тогда две из них соседние.

Семиугольник построить можно. Рассмотрим правильный шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6,$ продлим сторону $A_1A_2$ за точку $A_2$ до точки E, проведем через E и $A_3$ прямые, параллельные $A_2A_3$ и $A_1A_2$ и отметим их точку пересечения F. Тогда $A_1EFA_3A_4A_5A_6$ подходит  — $A_2EFA_3$ будет параллелограммом, а оставшаяся часть  — правильный шестиугольник, который легко разбить на три параллелограмма, соединив центр с вершинами $A_1,A_3,A_5.$

Ответ: а) нет; б) да; в) 7.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514581	а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$
2	514582	$дробь: числитель: 8 плюс 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
3	514583	$x принадлежит левая круглая скобка минус 4; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$
4	514584	$дробь: числитель: 125 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 44 конец дроби .$
5	514585	1562500 рублей.
6	514586	$a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка .$
7	514587	а) нет; б) да; в) 7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 158.

Ключ