РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 11582886

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)

а)  Решите уравнение $8 косинус в квадрате x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка =9.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно $корень из 5 ,$ а высота SH пирамиды равна $корень из 3 .$ Точки M и N  — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT  — высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.

а)  Докажите, что точка T является серединой SM.

б)  Найдите расстояние между NT и SC.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство $2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 17 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 17 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 7x плюс 5 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а)  Докажите, что $CK умножить на CE=BC умножить на AD.$

б)  Найдите отношение CE : KE, если $\angle ECD=75 градусов.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =|x| левая круглая скобка 2y минус 8 правая круглая скобка ,y=x плюс a конец системы .$

имеет ровно три различных решения.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1)  Если $x больше 0,$ то получаем уравнение

$x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =x левая круглая скобка 2y минус 8 правая круглая скобка \undersetx не равно 0\mathop равносильно$

$равносильно x в квадрате плюс y в квадрате минус 4y=0 равносильно x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =4.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 2) и радиусом 2.

2)  Если $x=0,$ то координаты любой точки прямой $x=0$ удовлетворяют уравнению.

3)  Если $x меньше 0,$ то получаем уравнение

$x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =x левая круглая скобка 8 минус 2y правая круглая скобка \undersetx не равно 0\mathop равносильно$
$\undersetx не равно 0\mathop равносильно x в квадрате плюс y в квадрате минус 16=0 равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =16.$ $x левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 8 правая круглая скобка =x левая круглая скобка 8 минус 2y правая круглая скобка \undersetx не равно 0\mathop равносильно$
$\undersetx не равно 0\mathop равносильно x в квадрате плюс y в квадрате минус 16=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =16.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 4.

Таким образом, в первом случае получаем дугу $\omega_1$ окружности $x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =4$ с концами в точках O и A(0; 4), во втором  — прямую l, задаваемую уравнением x  =  0, в третьем  — дугу $\omega_2$ окружности $x в квадрате плюс y в квадрате =16$ с концами в точках A и B(0; −4) (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y  =  x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при $a= минус 4,a=0$ и $a=4$ соответственно.

При $a=2 минус 2 корень из 2$ и $a=4 корень из 2$ прямые m касаются дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой $\omega_1$ при $a=2 минус 2 корень из 2$ и $0 меньше a\leqslant4,$ имеет две общие точки с дугой $\omega_1$ при $2 минус 2 корень из 2 меньше a\leqslant0,$ имеет одну общую точку с дугой $\omega_2$ при $минус 4 меньше или равно a меньше 4$ и $a=4 корень из 2 ,$ имеет две общие точки с дугой $\omega_2$ при $4 меньше или равно a меньше 4 корень из 2 .$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при $a=2 минус 2 корень из 2 ;$ $0 меньше или равно a меньше 4,$ $4 меньше a меньше 4 корень из 2 .$

Ответ: $a=2 минус 2 корень из 2 ,$ $0 меньше или равно a меньше 4,$ $4 меньше a меньше 4 корень из 2 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только включением/исключением точек a = 2 и/или a = 0	3
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: (0; 2) или $левая круглая скобка 2;2 корень из 2 правая круглая скобка ;$ возможно, с включением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл:	4

Последовательность $a_1, a_2,...,a_n левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  8?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514554	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
2	514555	б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$
3	514557	б) 3 : 1.
4	514558	1925 тыс. рублей.
5	514559	$a=2 минус 2 корень из 2 ,$ $0 меньше или равно a меньше 4,$ $4 меньше a меньше 4 корень из 2 .$
6	514560	а) 4, 9, 13, 16, 18; б) да, например, 4, 9, 13, 13, 9; в) 36.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — в п. в приведён пример последоватеоьности, сумма членов которой равна 70; — в п. в обоснованно, что не существует последовательности, сумма членов которой меньше 70	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)

Ключ

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)