Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514557
i

Квад­рат ABCD впи­сан в окруж­ность. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль BD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что CK умно­жить на CE=BC умно­жить на AD.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние CE : KE, если \angle ECD=75 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  В тре­уголь­ни­ках CKD и CDE угол KCD  — общий,

\angle CED = \angle CBD = \angle BDC=45 гра­ду­сов.

Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: CD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: CE конец дроби рав­но­силь­но CK умно­жить на CE=CD в квад­ра­те рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но CK умно­жить на CE= BC умно­жить на AD.

б)  В тре­уголь­ни­ке CKD имеем: \angle KCD=75 гра­ду­сов, \angle CDK=45 гра­ду­сов, от­ку­да \angle CKD=60 гра­ду­сов. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CKD и CDE по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: CE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: CD конец дроби .

В тре­уголь­ни­ке CKD из тео­ре­мы си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка CDE имеем:

дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: CD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 45 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: синус 60 гра­ду­сов конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та ,

то есть CK:CE= дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: CD конец дроби : дробь: чис­ли­тель: CE, зна­ме­на­тель: CD конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та : ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2:3, от­ку­да CE : KE = 3 : 1.

 

Ответ: б) 3 : 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 514522: 514557 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 509 (часть 2)
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Наиль Фаттахов 03.05.2017 20:09

CK/CD=sqrt(2/3) - это нашли. А CE/CD=sqrt(3/2) как по­лу­чи­ли?

Александр Иванов

По тео­ре­ме си­ну­сов



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025