Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть 
тогда уравнение запишется в виде 
откуда 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения одного из уравнений 
или 
Исследуем, сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и b. При 
уравнение принимает вид 
Это квадратное уравнение, дискриминант которого равен 
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
одно решение при 
и не имеет решений при 
При 
уравнение принимает вид 
и имеет одно решение.
Уравнение и 
совпадают при 
то есть при 
В этом случае мы получаем единственное уравнение 
которое имеет два решения.
При других значениях a исходное уравнения имеет ровно два решения, если либо оба уравнения и имеют по одному решению, либо одно из них не имеет решений, а другое имеет два решение. При каждое из этих уравнений имеет единственное решение и эти решения различны. При других значениях a выполнено неравенство 
поэтому уравнение имеет два решения. А значит, уравнение не должно иметь решений. Это выполнено при 
то есть при 
и при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  или  возможно, с включением граничных точек. | 2 |
Верно найдено хотя бы одно из значений a:  или  ИЛИ Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: ИЛИ Получено хотя бы одно из уравнений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
ровно два решения.
тогда уравнение запишется в виде 
откуда 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений 
или 
в зависимости от b. На промежутке 
функция 
принимает каждое неотрицательное значение один раз, на промежутке 
функция 
и одно решение при 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
и 
При 
и имеют два решения на отрезке 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение на отрезке 
если оба уравнения 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
и/или 
множества значений a, возможно, с с включением граничных точек и/или исключением точки 
тогда неравенство запишется в виде
нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при 
и 
Функция 
— кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция 
— линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция 
возрастающая. Таким образом, если неравенство 
выполнено при 
то оно выполнено при 
неравенство принимает вид
равно нулю при 
и больше нуля при других значениях a. Выражение 
при 
равно 0, при 
принимает вид 
при 
равно −2. Таким образом, неравенство 
выполнено при 
множества значений a, возможно, с исключением точки 
тогда неравенство запишется в виде
необходимо найти все значения a, при которых неравенство выполнено при 
и 
Функция 
убывающая. Таким образом, если неравенство 
а значит, и на отрезке 
равно нулю при 
При прочих а выражение 
и/или 
множества значений a, возможно, с исключением точки 
является решением уравнения, то и число 
также является решением этого уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение 
уравнение принимает вид
и 
При 
правая часть уравнения 
При 
правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при 
правая часть уравнения 
Значит, исходное уравнение имеет единственное решение 
исходное уравнение принимает вид 
Числа −2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.
левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при x = 0. При x > 2 правая часть уравнения 
возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной 
но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.
возрастает на области определения и принимает все значения от 
до 
Значит, уравнение 
имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку 
тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему неравенств:
возрастает на области определения и принимает все значения от 
тогда и только тогда, когда 
Получаем систему неравенств:
тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
то при 
а если 
то при 
имеем:
функция f является возрастающей, а при 
— убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке. 
откуда 
при 
откуда 
или 
в зависимости от a и 
При 
и 
левая часть определена и принимает вид
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для 
для 
Значит, при 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при 
при 
и не имеет решений при 
и 
При 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
и/или 
или 
; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки 
тогда исходное уравнение принимает вид:
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые 
и 
совпадает с точкой 
или 
или 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
и 
Получаем
Тогда 
и 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
и 
.
тогда исходное уравнение принимает вид:
(2)
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Левая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, с вершиной в точке 
и прямая 
либо, если одновременно прямая 
Получаем совокупность двух систем уравнений:
(3)
и 
.
тогда получим:
или 
в зависимости от a и 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
и имеют одно решение.
и 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
или 
тогда уравнение запишется в виде
или 
в зависимости от a и 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
и имеют одно решение.
или 
; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки 
тогда исходное уравнение записывается в виде 
Функция f возрастает, поскольку является суммой двух возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому получаем:
принимает значения от 
до 
а функция 
монотонно возрастает на отрезке 
и принимает на нём значения от 
до 
Значит, уравнение 
а с ним и исходное уравнение имеют решение при 
равна 
а их произведение равно 
Поэтому корни — суть числа 
и 
Тогда для исходного уравнения имеем:
