СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 514071

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть? 

Ре­ше­ние.

Раз­ло­жим все до­ми­нош­ки по парам, до­пол­няя числа на до­ми­нош­ке до шести (на­при­мер, с до­ми­нош­кой по­ло­жим ), а до­ми­нош­ки с сум­мой чисел 6 (их 4 штуки, и они дают пару сами себе) про­сто раз­ло­жим на две пары. Тогда в каж­дой паре сумма одна и та же (12).

а) Со­бе­рем в одну кучку любые 7 пар, во вто­рую — осталь­ные 7 пар.

б) Общая сумма на всех до­ми­нош­ках равна что не крат­но 5, по­это­му сде­лать 5 оди­на­ко­вых кучек не по­лу­чит­ся.

в) На 14 кучек мы уже раз­ло­жи­ли (пары, опи­сан­ные в на­ча­ле за­да­чи). Если кучек будет боль­ше, то в каж­дой из них сумма будет мень­ше что не­воз­мож­но для той кучки, в ко­то­рую по­па­дет ко­стяш­ка

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства