СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 514071

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть? 

Решение.

Разложим все доминошки по парам, дополняя числа на доминошке до шести (например, с доминошкой положим ), а доминошки с суммой чисел 6 (их 4 штуки, и они дают пару сами себе) просто разложим на две пары. Тогда в каждой паре сумма одна и та же (12).

а) Соберем в одну кучку любые 7 пар, во вторую — остальные 7 пар.

б) Общая сумма на всех доминошках равна что не кратно 5, поэтому сделать 5 одинаковых кучек не получится.

в) На 14 кучек мы уже разложили (пары, описанные в начале задачи). Если кучек будет больше, то в каждой из них сумма будет меньше что невозможно для той кучки, в которую попадет костяшка

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 154.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства