Ре­ше­ние. Пусть пер­вые цифры чисел равны a₁, a₂, ..., a_n, а вто­рые цифры равны b₁, b₂, ..., b_n. Сами числа тогда равны

Их сумма равна

Обо­зна­чая

по­лу­чим, что сумма была равна а ста­нет равна

а)  Решая си­сте­му

по­лу­чим и Можно на­при­мер взять 126 чисел, у каж­до­го из ко­то­рых пер­вая цифра равна 1, а вто­рая у 78 чисел равна 3, а у осталь­ных 48 равна 6, тогда A и B по­лу­чат­ся как раз та­ки­ми, как нужно. Итак, го­дят­ся 78 чисел 14 и 48 чисел 16.

б)  Решая си­сте­му по­лу­ча­ем Но озна­ча­ет, что чисел не более 81, а тогда сумма их по­след­них цифр не пре­вос­хо­дит

в)  Решая си­сте­му на­хо­дим

от­ку­да

Из ре­ше­ния пунк­та б) видно, что от­ку­да

то есть Кроме того, A и B долж­ны по­лу­чить­ся це­лы­ми, то есть 17 820 – n долж­но быть крат­но 99. Тогда

по­это­му нужно умень­шить n как ми­ни­мум на 20, чтобы по­лу­чить раз­ность

Итак,

До­ка­жем, что такое n воз­мож­но. Для него по­лу­ча­ем и можно взять 94 чисел с пер­вой циф­рой 1, 4 из них со вто­рой циф­рой 8, а осталь­ные 90 со вто­рой циф­рой 9. Тогда

Ответ: а)  78 чисел 14 и 48 чисел 16; б)  нет в)  8 514.