ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 524077 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 4x минус 8a$

имеет ровно 3 корня.

Спрятать решение

Решение.

Уравнение равносильно системе

$система выражений x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате =x в степени 4 плюс 16x в квадрате плюс 64a в квадрате плюс 8x в кубе минус 16ax в квадрате минус 64ax,x в квадрате плюс 4x минус 8a\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2ax левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =x в квадрате левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка ,x в квадрате плюс 4x минус 8a\geqslant0. конец системы .$ $система выражений x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате =x в степени 4 плюс 16x в квадрате плюс 64a в квадрате плюс 8x в кубе минус 16ax в квадрате минус 64ax,x в квадрате плюс 4x минус 8a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2ax левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =x в квадрате левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка ,x в квадрате плюс 4x минус 8a\geqslant0. конец системы .$

Из уравнения получаем $x=0,$ $x= минус 4$ и $x=2a.$ Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при $x=0,$ $x= минус 4$ и $x=2a$ выполнялось неравенство $x в квадрате плюс 4x минус 8a\geqslant0,$ а также чтобы были выполнены условия $2a не равно минус 4$ и $2a не равно 0.$ Получаем систему неравенств:

$система выражений левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 16 минус 8a\geqslant0,0 в квадрате плюс 0 минус 8a\geqslant0,4a в квадрате плюс 8a минус 8a\geqslant0,2a не равно минус 4,2a не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a\leqslant0,a не равно минус 2,a не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше минус 2, минус 2 меньше a меньше 0. конец совокупности .$

Ответ: $a меньше минус 2, минус 2 меньше a меньше 0.$

Примечание.

Заметим, что фраза "уравнение имеет ровно три корня" подразумевает, что уравнение имеет три различных корня.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только одной точкой $a=0$ или $a= минус 2$	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка$ множества значений a ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Получены корни уравнения $x в степени 4 минус 16x в квадрате плюс 64a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 8a правая круглая скобка в квадрате :$ $x=0,$ $x= минус 4,$ $x= 2a$ и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии $x в квадрате плюс 4x минус 8a больше 0$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 8a\geqslant0 правая круглая скобка$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 524055: 524077 630699 630706 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь