Ре­ше­ние. a)  Если на доске на­пи­са­ны два числа, иду­щие под­ряд, то любое число де­лит­ся на их раз­ность, рав­ную 1. Если на доске на­пи­са­ны числа 4 и 6, то каж­дое из этих чисел де­лит­ся на их раз­ность, рав­ную 2. Зна­чит, ни­ка­кие два из чисел 4, 5 и 6 не могли быть на­пи­са­ны на доске од­но­вре­мен­но.

б)  Если на доске на­пи­са­но 7 чисел, то хотя бы два из них дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 5. Зна­чит, раз­ность этих чисел де­лит­ся на 5. Сле­до­ва­тель­но, N не может быть рав­ным 7.

в)  Пред­по­ло­жим, что Если на доске есть число то хотя бы два из на­пи­сан­ных на доске чисел дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на a, но тогда их раз­ность де­лит­ся на a. Зна­чит, каж­дое из чисел, на­пи­сан­ных на доске, боль­ше 9. Среди любых раз­лич­ных чисел от 10 до 27 найдётся два, иду­щих под­ряд. Раз­ность этих чисел равна 1, и на неё де­лит­ся любое число, на­пи­сан­ное на доске. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что N может быть рав­ным 9. Пусть на доске на­пи­са­ны числа:

Раз­ность любых двух из этих чисел чётная, а зна­чит, ни одно из на­пи­сан­ных на доске чисел не де­лит­ся на неё. С дру­гой сто­ро­ны, каж­дая из таких раз­но­стей не пре­вос­хо­дит 16. Сле­до­ва­тель­но, любой нечётный де­ли­тель такой раз­но­сти не пре­вос­хо­дит 7. Таким об­ра­зом, по­стро­ен­ный при­мер удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.